谈谈计算数学（zz）- -

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从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
最好地说明这个问题：

How could someone as brilliant as von Neumann think
hard about a subject as mundane as triangular factoriz
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
with suitable pivoting, the results are impressively
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
experience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
for at least two years after the appearance of QR? Why
did more than 20 years pass before the properties of
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
comprehension of the effects of finite-precision
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。

侯一钊（加州理工）
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
http://www.acm.caltech.edu/~hou/

鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm

包刚（Michigan州立大学）
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
http://www.mth.msu.edu/~bao/

金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等
http://www.math.wisc.edu/~jin/

汤涛（香港浸会大学）
中科院，研究方向：移动网格法等
http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/

舒其望（Brown大学）
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html

陈汉夫（香港中文大学）
研究方向：数值线性代数
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/

许进超（Pennsylvania州立大学）
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
http://www.math.psu.edu/xu/

袁亚湘
中科院，研究方向为非线性最优化
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

张平文（北京大学）
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
模拟、移动网格法等
http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html

陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出

作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
是颇有裨益的。
理论：
最好的基本是
Mathematics of Computation
Numerische Mathematik
SIAM Journal on Numerical Analysis
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
SIAM Journal on Scientific Computing
较好的有：
BIT
IMA Journal of Numerical Analysis
Advances in Computational Mathematics
Inverse Problems

还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics
International Journal for Numerical Methods in Engineering
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
International Journal for Numerical Methods in Fluids
Computers and Fluids
Computational Mechanics
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
也可以浏览。

但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。

另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。

作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。

微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。

有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
 Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。

有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
 & Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。

谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
）
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
不知道能不能再学校里找到。

除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。

计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。

计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。

最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
面的网址注册
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
http://www.netlib.org/na-net

先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
都有中译本的。

接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
出来。

国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。

矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
Algebra》，Trefethen & Bau 的
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
写的挺有意思的，在他的主页
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
书，《The theory of matrices in numerical analysis》
(有中译本，系里中英文版的都有)。

LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
and Spectral methods》（在他的主页上可以
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。

他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
献，也许对大家有点启发。

1. Cooley & Tukey (1965)   the Fast Fourier Transform
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928)  finite difference methods for PDE
3. Householder (1958)  QR factorization of matrices
4. Curtiss & Hirschfelder (1952)  stiffness of ODEs; BD formulas
5. de Boor (1972)  calculations with B-splines
6. Courant (1943)  finite element methods for PDE
7. Golub & Kahan (1965)  the singular value decomposition
8. Brandt (1977)  multigrid algorithms
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987)  multipole methods for particles

他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these papers (average
age: 34), and by how short an influential paper can be
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
都还是很有希望的，呵呵。


反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下

几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed

Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前

叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂

志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的

杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical

Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM

Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on

Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。

在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问

题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他

们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW

Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin

Hanke（德国）， Isakov（美国）等。

反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根

据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应

用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问

题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水

平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上

有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一

个综述和展望，值得参考。

反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
regularization for Fredholm equation of the first kind》
是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
《Inverse problems for partial differential equations》，
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
Ill-posed Problems》应该也是不错的。

在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
了。

反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop529/readings/readings.html

计算的热点似乎有两个特点：
一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。

一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
这也应该是一个值得注意的地方。

由于自己是凭记忆写的，还没有校对过，差错肯定不少，希望其
他同学能够指出其中的错误来，以免误导大家，也欢迎大家跟我
讨论

把孩子扔到河里--普林斯顿大学数学系的崛起- -

    1948年秋天，数学系主任所罗门·列夫谢茨教授在西休息室召集所有一年级研究生谈话。他用浓重的法国口音给他们讲述生活的道理，整整讲了一个小时。他的目光锐利，情绪激动，大声说话，还不断用木头假手敲桌子。他说他们是最优秀的学生，每个人都是经过精心挑选才来到这里来的，但是这里是普林斯顿，是真正的数学家从事真正的数学研究的地方，和这里已经成名的数学家相比，他们只不过是一群无知可怜的娃娃而已，普林斯顿就是要把他们培养成人。他说他们可以自己决定要不要上课，他不会骂他们，分数没有任何意义，只是用来满足那些"讨厌的教务长"的"把戏"。他对大家的唯一要求就是每天参加下午茶的聚会，在那里他们会见到世界上最了不起的数学家。当然了，如果他们愿意，他允许他们参观高等研究院，看看他们能不能幸运地见到爱因斯坦、戈德尔或者冯·诺伊曼。他一再重复的一点是，教授们绝对不会把他们当做娃娃。对于年轻研究生们，列夫谢茨的这番话无异于美国作曲家苏萨的鼓舞人心的乐曲。


　　毫无疑问，列夫谢茨富有企业家精神，精力充沛。他在莫斯科出生，在法国接受教育，酷爱数学，却由于不是法国公民而不能选修数学，只好学习工程学，后来移民美国。23岁那年，他正在著名的电气公司西屋公司工作，一场严重的变压器爆炸事故发生，夺去了他的双手。用了几年时间，他才得以康复。其间他深感痛苦绝望，不过这场事故最终促使他下定决心，追求自己的真爱--数学。他到克拉克大学攻读博士学位，那里因为1912年弗洛伊德曾经举办精神分析讲座而闻名。不久，列夫谢茨和那里的另一位数学系学生相爱，两人结为秦晋之好。毕业之后，他在内布拉斯加州和堪萨斯州教了将近10年的书，一直寂寂无名。课余时间他撰写了多篇具有原创思想的精辟的论文，渐渐引起学术界的重视，终于有一天，来自普林斯顿大学的一个电话邀请改变了他的生活道路，他成为普林斯顿大学数学系首批犹太人教师之一。


　　列夫谢茨身材高大，举止粗暴，衣着毫无品味可言。刚来的时候，因为人们常常在走廊里假装看不见他，避免和他打招呼，他常常自称为"看不见的人"。但是他很快证明自己具有非凡的魄力，可以跨越远比这些过分拘谨、媚上傲下的同事更加困难的障碍，一手将普林斯顿数学系从一个"有教养的平凡之辈"培养成为令人景仰的"巨人"。


　　列夫谢茨招聘数学家只有一个条件，这就是原创性的研究。他注重独立思考和原创精神高于一切，蔑视那些优美或刻板的证明。据说他从来没有在课堂上做完一个正确的证明。他的第一部全面论述拓扑学的著作提出了"代数拓扑学"的术语，影响深远，其主要价值在于体系，而不是细节，细节方面的确有很有一些欠斟酌的地方。有人传说他是在"一个休息日"里完成这部著作的，他的学生们根本没有机会帮助他整理。


　　他了解数学的绝大多数领域，但是他的演讲往往没有条理。他的编辑作风专制而又有个性，使普林斯顿一度令人厌倦的《数学年刊》（Annals of Mathematics）一跃成为世界上最受推崇的学术刊物。有人批评他将许多犹太学生拒之数学系的门外，他却辩解说这是因为担心他们毕业之后多半找不工作。不过，没有人可以否认他确实具有极佳的判断力。他训斥别人，独断专行，有时相当粗暴，但是他的目标只有一个，就是为数学系赢得世界声誉，将学生们培养成和他自己一样坚韧不拔的真正的数学家。


　　列夫谢茨关于研究生数学教育的思想是以德国和法国名校的传统为基础的，很快就成为普林斯顿的指导纲领，其核心是尽快使学生投入到他们自己的研究工作中去。由于普林斯顿数学系本身就积极从事研究工作，同时有能力对学生进行指导，使列夫谢茨的想法得以付诸实践。博学固然是一项值得尊敬的才能，但这并不是列夫谢茨的目标，他更强调学生应该有能力提出自己独特的看法，作出重要的原创性的发现。


　　普林斯顿给予学生最大的压力和最小的管制。列夫谢茨就说过，系里不要求学生非来上课不可。数学系确实设立了自己的一整套课程，不过考勤和分数一样，几乎只是幻象。到了在学生的成绩报告上打分的时候，一些教授会给所有学生判C，另一些教授则会都给A，装装样子而已。一些学生根本不需要上一节课就可以得到分数。的确，所谓成绩单只是用来讨好那些墨守成规、被称为"俗人"的教务长之辈。比如数学系传统的口试，可能只是要求学生翻译一段法语或德语数学论文。由于选定的论文充满数学符号，文学极少，即便没有多少外语知识的学生也能看出个大概头绪。如果实在搞不清楚，只要学生许诺回去好好研读这份论文，老师们也可能判他合格。真正要计算成绩的是"总考"，包括5个题目，其中3个由数学系选择，另外2个由考生自行选择，在第一年的年终或第二年进行。不过，即便是这次考试也可能依据每个学生的具体优缺点而进行设计。举例而言，如果某个学生对一篇论文掌握得很好，而且他总共就知道这一篇论文，那么考官确实有可能大发善心，出题时自觉把内容限制在这篇论文里，好让这个学生顺利通过考试。


　　学生动笔写毕业论文之前，最重要的事情是要找到一个高资历的教授支持自己选择的题目。整个数学系的教师对学生都相当了解，如果他们认为某个学生实在没有能力完成自己的题目，列夫谢茨就会毫不犹豫地更换导师或干脆叫他离开。因此，通过了总考的学生通常在两三年里就能取得博士学位，而在哈佛则需要六七年，甚至更长的时间。


　　则柯在1981-1983初次到普林斯顿大学进修的时候，当时的系主任项武忠教授还在津津乐道列夫谢茨建立的传统：普林斯顿数学系把研究生"扔到河里"，游过去的，就成为博士。普林斯顿总是有最好的教授，最好的访问学者，他们授业解惑，可以说是有问必答，但是决不关心考试。如果你自己不思进取，没有人会逼迫你。普林斯顿总是开最先进的课，每周好几次请世界一流的数学家讲演自己的最新发现。她提供最好的环境，是不是能够利用这个环境，是研究生自己的事情。


　　至于列夫谢茨，教授们都有点儿夸大地说，正因为他从来没有在课堂上完整地做完一个正确的证明，他的学生不得不把他的漏洞补上，从而练就了本事。如果教授在课堂上讲的都已经十分正确十分完备，而学生能够把教授所讲背得滚瓜烂熟，那不叫本事。懂得高等教育的人都知道，如果每一步都要讲解得十分完备，你根本不可能在大学讲授一门象样的课程。
 
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人才优先--普林斯顿高等研究院的创立

王则柯  

美国新泽西州班伯格家族，自从白手起家在家乡纽沃克市开设第一家小商店以来，经过多年发展，跃升为美国百货零售业巨子，老板是两兄妹。不知是出于敏锐的商业直觉抑或纯属鬼使神差的巧合，在1929年纽约股市全面崩溃之前的6个星期，他们将手中持有的股票全部抛出兑现，躲过了这场没顶的"世纪之灾"。当时他们掌握的财富达到2500万美元，决定在新泽西州捐资做一些善事。

　　他们原本打算资助一所牙医学校，但是医学教育专家亚伯拉罕·弗雷克斯纳成功地说服他们放弃了这个想法，转而创立一所一流的研究机构，那里将没有教师，没有学生，没有课程，只有不必为谋生操心的研究人员。至于研究专业，弗雷克斯纳自己倾向于经济学，不过很快就听取了别人的建议，选择数学这样一门更加具有基础性质的学科。事实上，那时侯和现在一样，鉴别优秀的数学家远比挑选出色的经济学家更加容易。


　　接下来就要考虑选址问题。班伯格家族所在的纽沃克市只有油漆工厂和屠宰场，弗雷克斯纳希望邀请的国际学术明星们当然不会乐意跑到这样的地方来。于是，邻近的普林斯顿自然成为第二选择。据说还是拓扑学家奥斯瓦尔德·维布伦告诉班伯格家族，说普林斯顿完全可以"从拓扑学意义上"被认为是纽沃克市的"郊区"，这才促使他们下了最后决心。大家知道，作为几何学的升华，拓扑学讲究邻近关系，但是不计较距离。


　　弗雷克斯纳怀里揣着班伯格家族提供的资金，开始周游世界，招募优秀学者，许诺给予他们优厚工资和额外津贴，并且保证他们拥有绝对的自由和独立性。当时，希特勒刚刚开始执掌德国政府，德国大学大量排挤犹太人，战争阴云日益临近，整个欧洲都显得忧心忡忡。经过长达三年的耐心的讨论，欧洲最伟大的学者爱因斯坦终于同意成为普林斯顿高等研究院数学部的第二名成员。对此，他的一个朋友评论说，"物理学的教皇已经移居美国，美国很快就会成为世界自然科学中心"。1933年，奥地利维也纳的逻辑学神童库尔特·戈德尔和德国数学巨星赫尔曼·外尔随后来到美国。外尔在接受邀请的时候提出了一个条件，要求研究院同样为下一代学者打开大门。这样，刚满30岁的冯·诺伊曼因此获得聘请，成为研究院最年轻的教授。几乎是在一夜之间，普林斯顿成为像哥廷根大学一样引人注目的学术圣地。


　　研究院的富尔德大楼在1939年落成。原本与普林斯顿大学的同事们一起在数学系所在的范氏大楼工作的这些教授，有了自己的地方。不过，那时研究院的学者已经和大学教授们成为好朋友，他们合作开展研究项目，联合编辑学刊，出席彼此的讲座，参加研讨会，还一起享受下午茶。这种亲密的友谊并没有因为搬家而有所削弱。研究院和大学的交往是相得益彰的：研究院的声誉将最出色的教师和学生吸引到大学来，同时，大学里相当活跃的数学系和物理学系也引起了研究院的访问学者或研究人员的强烈兴趣。


　　与普林斯顿的蓬勃发展相反，一度被视为美国数学界掌上明珠的哈佛大学在40年代失去了昔日的光辉。传奇校长G·D·伯克霍夫去世，包括马歇尔·斯通、马尔斯顿·摩尔斯和哈斯利·惠特尼在内的一部分最优秀的年轻学者相继离开，其中两人转投普林斯顿高等研究院。爱因斯坦曾经在研究院公开抱怨伯克霍夫是世界上最有名的反犹太人学者，不论这是否属实，伯克霍夫确实对犹太人抱有偏见，使他不能吸收逃离纳粹德国的犹太人精英。同时，哈佛也忽略了当代最伟大的美国数学家诺尔伯特·维纳，他建立了平稳时间序列预测理论和现代控制论科学。因为他也是犹太人。结果，诺尔伯特·维纳去了一街之隔的、当时被学界夸大地说成比卡内基工学院的水平高不了多少的麻省理工学院。

　　说起亚伯拉罕·弗雷克斯纳出长普林斯顿高等研究院，还有一段人类文明的有趣故事：丈夫不如妻子那样了解自己。


　　当班伯格兄妹成功地从股票市场抽调资金准备为家乡和国家做一点善事的时候，他们委托两位律师去找亚伯拉罕·弗雷克斯纳。那时侯弗雷克斯纳已经退休。班伯格之所以要找20世纪初年美国著名的教育家弗雷克斯纳，是因为他写过一份报告，讨论当时的美国医学教育，认为系统混乱，标准不高。长此下去，在20世纪的医学发展中美国要落在后面，这将直接危害美国人民的健康和福利。报告引起朝野的震惊，而美国的医学教育在1910年代也就有了长足的进步。自此之后，弗雷克斯纳还被洛克菲勒基金会邀请去做其他一些事情，比如捐资开办北京协和医院。


　　律师找到弗雷克斯纳，对他说，"有一个很有钱的人想捐钱做一些事情。我们知道你对社会事业很热心，很有见解，也很有经验，想听听你的意见"。 弗雷克斯纳说，"巧极了，我正好写了一本小册子，你们拿去看看"。小册子的主题，就是指出当时美国在科技方面非常脆弱。当时，美国的学子要跑到欧洲才能拿到象样的科学学位。弗雷克斯纳指出，这样下去是不行的。小册子指出，美国必须建立一些独立的专门从事科研的机构。他特别推崇德国的制度。


　　几天以后，律师打电话给弗雷克斯纳，说班伯格先生想请他吃饭。午饭的时候，班伯格对弗雷克斯纳说：


　　"你的书写得很好，我愿意尽我的可能支持你的设想和计划。你觉得需要多少钱？"


　　弗雷克斯纳后来在自传中说，见面之前没有想过真的就可以去做，更没有想过需要多少钱。班伯格一问，他必须马上回答，所以就随便说了一个他认为很大的数字："500万"。500万美元在当时的确是一个惊人的数字。


　　班伯格当时没有立即确认。几天以后，他给弗雷克斯纳写信说，"我愿意捐500万，但是有一个条件，你必须出山，当高等研究院的第一任院长"。


　　接信以后，弗雷克斯纳想了好久，不能决定。他一方面因为自己的设想有了实现的机会而高兴，另一方面觉得自己已经退休多时，不应该"东山再起"。就这么烦躁不安地踌躇了十多天。


　　两个星期以后，他的太太对他说：


　　"你必须接受。我跟你已经共同生活了几十年，对你非常了解。假如今天你不接受这件事情，你的脾气一定会变得很坏，我就无法再跟你一起生活下去了"。


　　就这样，亚伯拉罕·弗雷克斯纳成了普林斯顿高等研究院的第一任院长。


　　作为院长，第一件事情就是筹划研究院应该研究什么东西。500万美元固然是一个很大的数目，但是要想在尖端科技的每个方面都去研究，在文史方面都去研究，还是远远不够的，所以必须作出选择，有所取舍。


　　至于如何选择，弗雷克斯纳定下一条原则：先要物色卓越的人才，然后发展他们擅长的学科，而不是先决定发展什么学科，才去找人。也就是说，先去找已经做出并且还能做出杰出研究工作的人，如果他愿意来的话，就在研究院里开辟他所从事的研究领域。


　　普林斯顿高等研究院之所以能够很快在国际学界树立地位，弗雷克斯纳先生的这项"人才优先"政策实在是一个关键。

《数学与数学人》- -

季理真

　　数学是丰富而美丽的。她无论内在还是外表都是多姿多彩的。这种美不仅仅体现在数学各分支间或者数学与物理等学科间意想不到的联系，也来自于数学在科学技术中方方面面的巨大应用。创造数学的人，我们姑且称之为"数学人"，他们和普通人在素养、情感上并无差别，也过着同样丰富多彩的生活。

       数学是很深奥的，甚至对具有极高造诣的数学大师来说也不例外。在我们所看到的连贯的理论和优美的定理背后，浸透着数学家艰辛的眼泪和痛苦的尝试，当然也有最终解决问题时的开怀大笑和幸福的满足。从事数学研究需要想象力和勇气，也需要勤奋、耐心、投入、激情和赢得科学皇后芳心的适当策略，这与成为诗人和音乐家所要求的素养一样，或者更通俗一点，正如同我们追求自己的真爱一样！。
　　 数学家通常都是满怀感情的。以欧拉为例，他是历史上最多产的数学家之一。他有13个孩子。他喜欢把最年幼的孩子放在膝上，而其他的孩子则围着他到处玩耍，就是在这样的环境下，他创造并记载下许多伟大的想法，撰写了大量的书籍和论文，泽披后世。
　　来看Grothendieck，这位近代最激进的数学家。他的思想是如此的具有革命性，以至于他改变了整个现代数学谱系的面貌。不幸的是，这个世界与他的理想格格不入，而他也无法用自己创造的"概形"来改变这个世界。于是他离别妻儿，到乡村做了隐士，从人类的"流形"上消失了。
冯诺伊曼，现代计算机和博弈论之父。他凭着自己照相存储器般的记忆力，身临其境般地向未婚妻历数巴黎的风景名胜，最终赢得了她的芳心。
　　数学中也充满了悲剧。当伽罗华在群论上的不朽工作为世人所称颂时，他早已为了所谓的尊严和爱情而放弃了生命。Bloch在单复变理论上的想法是如此的创新，结果却是他和著名画家梵高一样，只能在精神病院度过余生。同样不幸的还有纳什，"美丽心灵"中的主人公，因为读博士期间的几篇论文而获得了诺贝尔经济学奖，其实他后来在纯数学上许多工作要更加的深刻和具有开创性。
　　再看Wiener，一个天才少年和数学巨匠。正是他的父亲造就了Wiener的天才，却也是他完全摧毁了儿子的自信。
　　数学并不容易，也不总是有趣的。Kaczynski，美国联邦调查局给他的代码是"Unibomber"，在哈佛大学念本科，接着获得密歇根大学数学系的博士学位，然后在加州大学伯克莱分校教书。也许是对社会和学术生活失去了信心，他变成了一个恐怖分子。依靠着他在数学上的多年严格训练，他成功得逃脱了联邦调查局对他18年来的集中追捕。
　　Ulam在很年轻的时候就在数学上小有名气。不久他厌倦了讲课和数学研究，于是加入了一个国家实验室，后来成为了氢弹的发明者之一。
也许你会感到吃惊，伟大的牛顿只用了3年时间就建立了引力理论和微积分，但是却把他的余生都用来寻找和理解他深信不疑的独一无二的上帝。
数学家也并不缺乏其他的天赋。Kronecker在年轻时就很快积累了大量财富，然后他把余生都花在研究和享受数学上了。
　　Mittage-Leffler娶了一位美丽而且富有的太太，还建造了很大的别墅，这些别墅至今仍然保留下来，成为了Mittage-Leffler数学研究所。（关于诺贝尔奖中没有数学奖的一个有趣的传闻或解释是，Mittage-Leffler抢走了诺贝尔深爱的女孩。）
　　法国大数学家庞卡莱的通俗文章是如此受欢迎，甚至家庭主妇和女孩子会在发廊里津津有味地阅读和讨论他的文章。
　　数学不仅仅在科学中有用，比如在物理上发现基本粒子，数学也在绘画和音乐中有用武之地。在医学和互联网等现代技术中，数学也扮演了重要的角色。
　　这套系列丛书将会带领你进入数学和数学人的各个方面。如果想要用一句话来概括研究数学的乐趣，有一句中国老话也许最为恰当，"书中自有颜如意，书中自有黄金屋。"这些宝藏就在数学中，等待读者朋友去发现。我们希望这套丛书能够帮助你找到它们。

第一辑《纪念陈省身先生文集》导读－－作者简介

杨振宁（1922－）
　　当代最负盛名的理论物理学家，父亲杨武之是著名数学家。杨振宁在1956年与李政道合作发现弱相互作用的宇称不守恒原理，而荣获1957年诺贝尔物理学奖。从提出理论到获奖只有短短一年时间，这在诺贝尔物理学奖的历史上是绝无仅有的。他合作创立了非阿贝尔规范场的杨－米尔斯理论，以及发现杨－巴克斯特方程，对理论物理和数学都有深远的影响。还曾获得Rumford奖（1980），Benjamin奖（1993）和美国国家科学奖（1986）等多项荣誉。现定居清华园。

André Weil（1906－1998）
　　已故法国大数学家，布尔巴基学派的代表人物，在数论，代数几何，拓扑，微分几何学等众多数学领域作出过奠基性的贡献。特别是关于有限域上代数簇之zeta函数的Weil猜测极大地推动了代数几何学的发展，曾获以色列Wolf奖（1979）与日本京都奖（1994）。他先后在芝加哥大学和普林斯顿高等研究所任教，晚年研究数论史，是陈省身先生的老朋友。他是法国科学院院士和美国科学院外籍院士。

周炜良（1911－1995）
　　已故著名代数几何学家，曾担任John Hopkins大学数学系主任。证明了著名的刻画紧子簇的周定理。以他的名字命名的其他研究工作还有"周坐标"，"周簇"，"周环"等。陈省身评价他是一位富有创见的数学家。周炜良出身名门，父亲周达（笔名周今觉）是清末民初著名集邮家，曾被誉为中国"邮王"。

Isadore Singer（1924－）
　　著名几何学家，MIT数学系教授。与Atiyah合作证明Atiyah-Singer指标定理，揭示了拓扑，几何与分析的深刻联系，是20世纪数学的一项划时代的成就，在数学与理论物理之间建立了新的桥梁。他是2004年第二届挪威科学院Abel数学大奖的获奖者之一，还曾获得过美国数学会Bocher分析学奖（1969）与美国国家科学奖（1983）。他是美国科学院院士。

朱经武（1941－）
　　国际著名高温超导物理学家，长期担任美国Texas高温超导研究中心主任，陈省生先生的女婿，现任香港科技大学校长。曾获美国国家科学奖（1988），美国太空总署成就奖（1988）及国际新材料奖（1989）等众多荣誉。同时他也是美国科学院院士和中国科学院外籍院士。

Irving Kaplansky（1917－）
　　波兰裔美籍代数学家，对交换代数，数论等学科做出了重要的贡献。曾担任芝加哥大学数学系主任。继陈省身之后任伯克利数学科学研究所所长，还担任过美国数学会主席。他是美国科学院院士，获得过美国数学会Steel终身成就奖（1989）。

Louis Nirenberg（1925－）
　　著名分析学家，在微分几何，偏微分方程及其应用方面作出了突出的贡献。曾担任纽约大学Courant数学研究所所长。他是瑞典皇家科学院首届Crafoord奖（1982），美国数学会Bocher分析学奖（1959）与美国国家科学奖（1995）得主，美国科学院和欧洲科学院院士。

Felix E. Browder
　　著名分析学家，美国Rutgers大学教授。在非线性泛函分析及其在偏微分方程的应用上作出了开创性的工作。他曾担任美国数学会主席，是美国科学院院士，曾获美国国家科学奖（1999）。

Raoul Bott（1923－）
　　几何与拓扑学家，哈佛大学教授。应用Morse理论于李群和齐性空间的拓扑研究，证明Bott周期定理。与Atiyah合作对指标定理做出重要贡献。在流形叶化理论，Yang-Mills场理论，向量丛模空间理论也有创见。他是美国科学院院士，曾获以色列Wolf奖（2000）和美国国家科学奖（1987）。

铃木治夫（Haruo Suzuki）
　　几何学家，陈省身先生在芝加哥大学时的学生。主要研究领域是流形的叶化理论，代数拓扑，K理论。

Phillip Griffiths
　　著名代数几何学家，曾担任普林斯顿高等研究所所长，现任国际数盟秘书长。他擅长把经典数学和现代数系起来，在外微分方程组，复分析，代数几何等领域作出了许多至关紧要的贡献。他是美国科学院院士。

Wilhelm Klingenberg（1924－）
　　几何学家，波恩大学教授，德国微分几何学派的代表人物。在单射半径估计，球面定理的最佳拼挤常数，闭测地线性质等方面有重要贡献。是个地地道道的中国迷，爱好收藏中国古代铜器，多次到西藏探访民俗文化。

James Simons（1939－）
　　几何学家，曾担任纽约州立大学石溪分校数学系主任。博士论文中给出Berger和乐群分类定理的直接证明。他解决了高维的Bernstein猜想，与陈省身合作发现的Chern-Simons不变量在理论物理中有重要应用。曾获美国数学会Veblen几何学奖（1976）。在数学研究正处于高峰时，转入金融界，现任华尔街著名投资公司总裁，2003年华尔街投资经理人薪水排行榜上高居第三，热心赞助美国的数学教育。他认为数学是促使他走上成功之路的重要因素。

Blaine Lawson
　　几何学家，纽约州立大学石溪分校教授。用拓扑和分析的技巧研究整体微分几何，在极小子流形理论，流形的群作用，正数量曲率流形的分类等问题上有重要贡献，还与Harvey合作提出了数学和物理中都有应用的calibration理论。他是美国科学院院士。

Jeff Cheeger（1943－）
　　著名几何学家，纽约大学教授。主要研究黎曼流形在一定的曲率限制条件下的结构，发现了黎曼几何中许多深刻的结果，如Cheeger-Gromoll分裂定理，Cheeger-Gromov理论等。对拉普拉斯算子的特征值理论也有许多贡献。他曾获得美国数学会Veblen几何学奖（2001），是美国科学院院士。

Bernard Shiffman
　　几何学家，1968年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位，曾担任John Hopkins大学数学系主任。主要研究多复变亚纯映照与复几何。他曾获得P. Sloan研究奖，是著名数学期刊American Journal of Mathematics的主编。

郑绍远
　　几何学家，1974年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位，现任香港科技大学理学院院长。与丘成桐合作解决高维Minkowski问题，对Monge-Ampere方程，黎曼流形的特征值估计等重要问题作出了突出贡献。

Marcel Berger（1927－）
　　几何学家，出生于巴黎，在博士论文中证明了著名的"和乐群分类定理"。此外，他在黎曼几何的谱理论、拼挤定理等许多方面都有重要的贡献。曾担任法国国家科学研究中心（CNRS）主任，巴黎高等研究所（IHES）主任，法国数学会主席等职务。他是法国科学院的通讯院士。

Jean Bourguignon
　　几何学家，现任巴黎高等研究所所长和法国国家科学研究中心主任。曾担任法国数学会和欧洲数学会主席等职，是欧洲科学院院士。在微分几何，整体分析以及数学物理方面有突出的贡献。热心于数学的公众传播，多次参与科普影片的制作。他曾多次来中国访问讲学。

John Millson（1946－）
　　几何学家，1973年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位，现任马里兰大学数学系教授。在双曲流形Betti数，算术群表示和离散子群形变理论等方面都有很好的工作。曾获得P. Sloan研究奖。个人爱好是高尔夫，钓鱼和滑雪。

丘成桐（Shing-Tung Yau）（1949－）
　　当代数学大师，现任哈佛大学讲座教授，1971年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位。他发展了强有力的偏微分方程技巧，使得微分几何学产生了深刻的革命。解决了Calabi猜测，正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。他年仅33岁时就获得代表数学界最高荣誉的菲尔兹奖（1982），是MacArthur天才奖（1985），瑞典皇家科学院Crafoord奖（1994），美国国家科学奖（1997）等众多大奖获得者。他是美国科学院院士，同时是中国科学院和俄罗斯科学院的外籍院士。筹资成立浙江大学数学科学研究中心，香港中文大学数学研究所和北京晨兴数学研究所三大学术机构，担任主任，不取分文报酬。培养的50余位博士中多数是中国人，有许多已经是国际上非常杰出的数学家。由于对中国数学发展的突出贡献获得2003年度中华人民共和国科学技术合作奖。

刘克峰（1965－）
　　出生于河南开封，1993年获哈佛大学博士学位，导师是丘成桐。2002年起任加州大学洛杉矶分校教授。2003年起担任浙江大学光彪讲座教授、数学中心执行主任兼数学系主任。在微分几何、拓扑、数学物理等研究方向取得了大量国际一流的原始创新成就。他获得过享有盛名的Sloan研究奖和Guggenheim奖，并在2002年北京国际数学家大会上作特邀报告。2004年他荣获世界华人数学家的最高奖——晨兴数学奖金奖。他还是世界著名数学杂志《几何分析通讯》的主编。刘克峰是乒乓球高手，现任浙江大学乒协副会长。

程民德（1917－1998）
　　已故函数论学家，北大教授，中国科学院院士。1942年浙江大学研究生毕业，1949年师从Bochner获得普林斯顿大学博士学位。在多重三角级数唯一性理论、多重傅里叶级数求和与逼近理论方面作出了开创性并有深远影响的成果。是中国多元调和分析研究的先驱和学术带头人。并积极倡导开展模式识别与图像处理的研究。

谷超豪（1926－）
　　几何学家，复旦大学教授，中国科学院院士，温州大学校长。1948年毕业于浙江大学。1959年获莫斯科大学物理数学科学博士学位。在微分几何学、齐性黎曼空间、无限维变换拟群、双曲型和混合型偏微分方程、规范场理论、调和映照和孤立子理论等方面取得了系统、重要的研究成果。

胡国定（1923－）
　　数学家与教育家，南开大学教授。在数学信息论，广义信息论，泛函空间中的随机过程以及计算机科学与数学基础研究中取得了重要成果。曾任南开大学副校长，继陈省身之后任南开数学所第二任所长职务。为进一步推动南开数学所的发展壮大做出了重要贡献。

廖山涛（1920－1997）
　　已故微分动力系统专家，北大教授，中国科学院院士，1955年在芝加哥大学师从陈省身获得博士学位。提出"典范方程组"和"阻碍集"两大基本理论，由此形成独具特色的研究体系，取得了一系列国际第一流的重要成果。他还是第三世界科学院院士，获得过第三世界科学院数学奖（1985）。

吴文俊（1919－）
　　著名数学家，中科院数学机械化实验室名誉主任，中国科学院院士。1946年由陈省身推荐到中央研究院任助理研究员。1947年留学法国，获得法国国家科学博士学位。在示性类和示嵌类等研究方面取得吴公式、吴示性类等一系列突出成果，是中国数学机械化研究的创始人。他获得过国家自然科学一等奖（1956），国际自动推理最高奖Herbrand奖（1997），以及首届国家最高科学技术奖（2001）。他还是第三世界科学院院士，获得过第三世界科学院数学奖（1990）。

严志达（1917－1999）
　　已故中国科学院院士，南开大学教授。与陈省身合作建立了积分几何运动的陈－严公式，在李群李代数及其在微分几何上应用的研究中获突破性进展。对齿轮啮合理论及其应用的研究促进了我国齿轮工业的发展。

王　元（1930－）
　　数论学家，中国科学院院士，曾担任中科院数学所所长。由于在歌德巴赫猜想研究中取得的卓越成果与陈景润、潘承洞获国家自然科学一等奖（1982）。提出数论方法在近似分析中应用的"华－王"方法。从事原创性科学工作的同时，十分重视并参与科普写作，爱好书法，写得一手好字。

伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）
　　几何学家，加州大学伯克利分校教授，与学生Robert Greene合作对复流形的曲率与函数论关系作了深刻研究，得到了许多重要的结果。多次回国讲学，在国内出版了《黎曼几何初步》、《黎曼几何选讲》等脍炙人口的专著。晚年致力于数学教育理论的研究与实践。

胡　森
　　安徽泗县人。普林斯顿大学博士。2000年中国科学院"引进国外杰出人才"项目入选者。2001年到校工作，现为中国科学技术大学数学系教授，中科大数学所所长，中科大交叉科学理论研究中心副主任，承担国家自然科学基金数学物理重点项目。目前主要从事拓扑量子场论和弦理论的研究。其工作致力于为拓扑量子场论奠定基础。

周　坚（1967－）
　　1989年中国科学技术大学毕业，1990年王宽诚项目赴美留学，1995年在纽约州立大学石溪分校获数学博士学位，2001年回国在清华大学数学科学系任教（百人计划引进人才），2004年起成为浙江大学光彪特聘教授，获2004-2007年度国家自然科学基金委杰出青年基金。他是目前国内最杰出的青年数学家之一，对超弦理论中的数学问题作出了重要贡献，与刘克峰、刘秋菊合作证明了著名的Marino－Vafa猜想，入选2004年度高校十大科技进展，并在2004年国际华人数学家大会上做一小时报告。

李伟光（Peter Li）
　　几何分析学家，1979年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位，现加州大学Irvine分校数学系首席教授。在流形热核，特征值估计等领域有重要的贡献。他与丘成桐在抛物方程估计的开创性工作，直接导致了Hamilton在Ricci流的研究成果和最近Perelman应用Ricci流证明Poincare猜测的突破性工作，。曾获P. Sloan研究奖与Guggenheim基金会奖，应邀在2002年北京国际数学家大会上作45分钟报告。

刘　纬
　　出生于山东省，成长在台湾，东海大学化学系毕业，后在美国卫斯理学院研究生物化学。曾任美国高中理化教师，创办中文学校，撰写「世界周刊」专栏，主持华语电视、电台节目，谈论与新移民、青少年有关事务。曾任「美南写作协会」会长，现为「海外华文女作家协会」会员。著作包括《留美青少年教育指南》，《介绍美国之中等教育》。

赵来思（Lensey Namioka）
　　著名语言学家赵元任先生的女儿，旅美作家。九岁时移居美国，曾就读于Radcliffe学院和加州大学伯克利分校，主攻数学。但她主要兴趣还是在于写作，已经写作30多年，出版了22本书，大部分是为年轻人和儿童所写。曾获得华盛顿州长写作奖，加州青年读物奖，阿拉巴马州最佳图书等多项奖励。

滕楚莲（Chuu-Lian Terng）（1949－）
　　几何学家。生于台湾，现美国西北大学教授。曾担任女数学家联合会（AWM）会长。在子流形几何与孤立子方程等领域做出了重要的工作。曾获P. Sloan研究奖以及德国洪堡基金会研究奖（1996）。1981年与她的博士导师、著名数学家Richard Palais结婚。

Thomas Banchoff
　　1964年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位，现Brown大学教授。曾担任美国数合会（MAA）主席。主要研究领域是离散几何，几何图形的计算机可视化。他致力于开发图形交互生成软件，制作几何图形的动画影片。由于在教学上的突出贡献，曾获得Carnegie奖金，MAA奖，Bray奖等众多荣誉。

Robert Osserman
　　几何学家，斯坦福大学退休教授。1955年在哈佛大学师从著名数学家Ahfors获得博士学位。主要研究几何函数论与微分几何，对极小曲面理论有重要贡献。晚年热心于数学的公众传播，参与科普写作，制作数学科教片，2005年4月的"美国数学推广月"以"数学和宇宙"为主题，由Osserman担任这次活动的主席。

叶嘉莹（1924－）
　　著名诗词学家，有"中华古韵女传人"之称。出生于北京，17岁以优异的成绩考入辅仁大学国文系；20世纪50年代任台湾大学教授；60年代，叶嘉莹应邀担任美国哈佛大学、密歇根州立大学客座教授；1969年定居加拿大，任加拿大不列颠哥伦比亚大学终身教授；1979年起多次回国讲学；1989年当选为加拿大皇家学会院士；1996年在南开大学创办"中华古典文化研究所"，设立"驼庵"奖学金。著有《迦陵文集》十卷、《叶嘉莹作品集》二十四卷。

Howard Garland
　　代数学家，1964年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位，曾先后在耶鲁大学、普林斯顿高等研究所、康奈尔大学、哥伦比亚大学、纽约州立大学石溪分校任教，1973年至今任耶鲁大学数学系教授。主要研究代数群，表示论，对数学物理也有贡献。

杨忠道（1923－）
　　拓扑学家。1946年毕业于国立浙江大学数学系。1952年获美国Tulane大学数学博士学位。曾担任美国宾夕法尼亚大学数学系主任。台湾中央研究院院士，曾入选美国Who is Who名人辞典。

张伟平（1964－）
　　现任南开大学南开数学研究所所长。曾于1988年考取陈省身先生在南开数学所招的博士生。后经陈先生推荐，赴巴黎师从Bismut教授并于1993年获得博士学位。主要从事整体微分几何中的Atiyah－Singer指标理论与示性类的研究，取得了一系列得到国际公认的研究成果。先后荣获2000年第三世界科学院数学奖、2001年教育部长江学者成就奖一等奖，2001年度中国十大杰出青年称号，以及2004年中国数学会陈省身数学奖。他于2001年当选为第三世界科学院院士。张伟平是位名副其实的电影发烧友，陈先生后来在宁园看的片子大多数都是他提供的。

李远哲（1936－）
　　生于台湾新竹，父亲为知名画家李泽藩先生。1965年获得加州大学伯克利分校化学博士学位；先后担任芝加哥大学，伯克利大学教授，美国劳伦斯国家实验室高级主任研究员。在化学动力学、动态学、分子束及光化学方面贡献卓著。曾获得美国能源部的劳伦斯奖（1981）、美国国家科学奖（1986）、英国皇家化学会法拉第奖（1992）和1986年诺贝尔化学奖等众多荣誉。他是美国科学院院士，现任台湾中研院院长。

沈元壤（Yuen-Ron Shen）（1935－）
　　著名物理学家，现加州大学伯克利分校物理系首席教授。出生于上海，1956年获台湾大学学士学位，1963年在哈佛大学师从诺贝尔奖得主Blombergen获得博士学位。在非线性光学、激光和凝聚态物理等方面有很重要的贡献，深得学术界推崇。曾获美国光学学会Townes奖（1986），美国物理学会Schawlow奖（1992），美国物理学会Isakson奖（1998），德国Max Plank研究奖（1996）等。他是美国科学院院士和中国科学院外籍院士。

张映碧
　　华裔美籍软件工程师；西北工业大学航空电子工程系学士，硕士，助教。Texas A&M大学计算机硕士。曾就职于德州Texas A&M计算中心 (软件工程师)；波士顿PFN公司（高级顾问工程师）；波士顿American Student Assistance（高级顾问工程师）。爱好写作，94、95年曾为《文化与生活》杂志撰稿。

葛守仁（Ernest S. Kuh）（1928－）
　　 著名电子学家，加州大学柏克利分校电子工程与计算机系教授。出生于北京，1952年获得斯坦福大学博士学位。曾担任伯克利分校工程学院院长。对大规模集成电子电路理论与设计自动化，电路布局理论与算法有重要的贡献，还开发了许多对工业界以及学术研究有很大帮助的软件。在他的学术生涯中，曾获得过诸多荣誉及奖项。他是国际电机电子工程师协会（IEEE）会员，美国国家工程学院院士和中国科学院外籍院士。

黄且圆（1939－）
　　毕业于北京大学，中国科学院软件研究所研究员。从事数理逻辑中的模型论研究，曾任中国数学会数理逻辑专业委员会主席，业余爱好写作。中国著名水利学家、清华大学教授黄万里先生的长女。

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To a pretty girl  **

For the Encouragement and Best Wishes
 
She Gave Me
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ukim为我们提供了几乎是近代数学的发展史。
看一下那些数学家，才知道数学对于我们是如此亲切。

（from日月光华）

序
 
废话几句。
 
多年以前，我有一个很宏伟的计划，打算写一本厚厚的书。这本书有三部，第一部写那
 
些数学牛人们的传奇动人荒诞不经的轶事，第二部充满着历史上最最经典的定理最最美
 
妙的证明，第三部去真实的纪录北大数学的这群烂人，写他们那脏乱的宿舍和芜杂的生
 
活。这一直是一个理想，直到我动手写这些文字的时候，我知道，这将永远是一个美好
 
的梦。所以，这里只是那个计划的一小部分，讲述的是那些虔诚的人做过的虔诚的事。
 
 
第一次因为数学感动，是听到大人们讲华罗庚先生的故事，不知道那时候多大，隐约记
 
得他们说华先生去苏联算一个卫星的东西，怕他们把自己的算法偷去，于是所有的东西
 
都是心算。故事的真实性自然不可信，不过这很让小孩子神往。我要讲述的也是这么一
 
些事情，很多都是高中和大一大二读过的，那是一段美妙的时光。美妙的东西希望大家
 
一起分享，与人乐乐。
 
最后，按照写序的一般格式，我来感谢一下应该感谢的人们。感谢knots陪我一起扭伤脚
 
腕一起看遍好莱坞的美女，感谢hyson和我一起用两块八的牛奶煮面，感谢alpha和我两
 
次同居在那简陋的破屋里冻得瑟瑟
发抖，感谢doudoulf那银玲般的笑声，感谢justinlee, mashimaro, aixuexi, transfe
 
rrer和luk在每一个漆黑的夜晚大家共同进行着富有想象力的意淫。是他们的存在，回忆
 
这个词才有了色彩。
 
                                                ukim
                                                2002 - 4 - 1
 
Bernoulli 家族 (1)
 
Euler停止了生命，也就停止了计算。
                                                      ——de Condorcet
这是一个生产数学家和物理学家的部落，有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲
 
的姓氏。
 
1．
John Bernoulli在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出，公
 
开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi.Bernoulli,这两个人在学术让一直相互不忿，据说当
 
年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi做了一年还认为悬链线应该是抛物
 
线，实在是很没面子。那个杂志好像是Leibniz搞得，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东
 
西。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，Leibniz的,还有一个L.Hospital侯爵的
 
（我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好像是他雇人做的，是个有钱人）然后是他哥哥
 
Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳的，必然是Newton的，John自己说"我从它的利爪
 
上认出了这头狮子．"据说当年Newton从造币厂回去，看到了Bernoulli的题，感觉浑身
 
不爽，熬夜到凌晨4点，就搞定了。这么多解答当中，John的应该是最漂亮的，类比了F
 
ermat原理，用光学一下做了出来。但是从影响来说，Jacobi的做法真正体现了变分思想
 
2．
Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（他是John Be
 
rnoulli的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我
 
介绍："我是Daniel Bernoullis。"那个人当时就怒了，说："我是还是Issac Newton
 
呢。"Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历把他当作他曾经听过的最
 
衷心的赞扬。
 
Bernoulli家族 （2）
 
3．
John & Jacobi这两个Bernoulli人，都算不出来自然数倒数的平方和这个级数，Euler从
 
他老师John那里知道的，并且给出了π2/6这个正确的答案。
 
4．
法国有一个哲学家，叫做Denis Diderot，中文的名字叫做狄德罗，是个无神论者，这个
 
让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请Euler来教育一下Diderot，其实Euler本来是弄神学的
 
，他老爸就是的，后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲，才让Euler做数学了。Eule
 
r邀请Diderot来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，然后，在众人面前说："
 
先生，( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；请回答!"Diderot自然不懂代数，于是被
 
羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家，他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎......
 
 
四色定理
 
证明是一个偶像，数学家在这个偶像前折磨自己。
                                                      ——A.Eddington
1．
一次拓扑课，Minkowski向学生们自负的宣称："这个定理没有证明的最要的原因是至今
 
只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。".......这节课结束的时
 
候，没有证完，到下一次课的时候，Minkowski继续证明，一直几个星期过去了......一个
 
阴霾的早上，Minkowski跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，Minko
 
wski很严肃的说："上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的......"
 
2．
1942年的时候，Lefschetz去Havard做了个报告，Birkhoff是他的好朋友，讲座结束之后
 
，就问他最近在Princeton有没有什么有意思的东西。Lefschetz说有一个人刚刚证明了
 
四色猜想。Birkhoff严重的不相信，说要是这是真的，就用手和膝盖，直接爬到Prince
 
ton的Fine Hall去。
 

做数论的人 (1)
 
从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。
                                                            ——Hardy
1．
Lev Landau这位俄国最伟大的物理学家惊叹道："为什么素数要相加呢？素数是用来相
 
乘而不是相加的。"据说这是Landau看了Goldbach(哥德巴赫)猜想之后的感觉。
术业有专攻呀......
 
2．
Graham说："我知道一数论学家，他仅在素数的日子和妻子同房：在月初，这是挺不错
 
的，2，3，5，7；但是到月终的日子就显得难过了，先是素数变稀，19，23，然后是一
 
个大的间隙，一下子就蹦到了29，......"
 
做数论的人 (2)
 
3．
由于Fermat大定理的名声，在New York的地铁车站出现了乱涂在墙上的话：         
 
 x^n + y^n = z^n 没有解对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时
间写出来，因为我的火车正在开来。
 
4.
Hilbert曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann猜想，尽管其中有个无法挽回的
 
错误，Hilbert还是被深深的吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事死了，Hilbert要
 
求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致
 
词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。
 
接下来，Hilbert说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走，应该有可能证明
 
Riemann猜想，再接下来，Hilbert继续热烈的冒雨讲道："事实上，让我们考虑一个单
 
变量的复函数....."众人皆倒。
 
做数论的人 （3）
 
5．
 
有一个人叫做Paul Wolfskehl,大学读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧
 
的是他被无数次被拒绝。感到无所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起
 
的时候，告别这个世界，再也不理会尘世间的事。Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的
 
工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的
 
朋友亲戚写了信。由于他的效率比较高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，
 
剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快,被Kummer解释Cauchy
等前人做Fermat大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合
要自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug，一直到黎明
 
的时候，他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云......这样他重新立
 
了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖，讲给第一个证明Fermat定理的人10万马克...
 
...这就是Wolfskehl奖的来历。

Gottingen的传说
 
Gottingen市政厅底层的墙上
言不讳的镌刻着： "Gottingen以外没有生活。"
 
1．
 
1854年，Riemann为了在Gottingen获得一个讲师的席位，发表了他划时代的关于几何学
 
的演说。由于当时听这个演说的人很多是学校里的行政官员，对于数学根本就不懂，Ri
 
emann在演说中仅仅只用了一个数学公式。Weber的回忆说，当演说结束后，Gauss怀着少
 
见的表情激动的称赞Riemann的想法。如果读读Riemann的讲稿，就会发现那几乎就是哲
 
学，尽管这样子，当时的观众中只有一个人可以理解Riemann,那就是Gauss。而整个数
学界,为了完善消化Riemann的这些想法，却话了将近100年的时间。
 
有人说Riemann的著作，更接近于哲学而不是数学，甚至在一开始，欧洲的很多数学家认
 
为Riemann的东西是一种家庭出版物，更接近物理学家的看法，与数学家没有关系。一次
 
，Helmholz和Weiestrass一起外出度假，Weiestrass随身带了一篇Riemann的博士论文，
 
以便能在一个山清水秀的环境里静静的研究这篇他认为是复杂又宏伟的工作。但是Helm
 
holz大惑不解，他认为，Riemann的文章再明白不过了，为什么Weiestrass作为数学家要
 
这么化功夫呢？
 
 
Gottingen 的传说
 
2．
Klein上了年纪之后，在Gottingen的地位几乎就和神一般，大家对之敬畏有加。那里流
 
行一个关于Klein的笑话，说Gottingen有两种数学家，一种数学家做他们自己要做但不
 
是Klein要他们做的事；另一类数学家做Klein要做但不是他们自己要做的事。这样Klei
 
n不属于第一类，也不属于第二类，于是Klein不是数学家。
 
3．
Wiener去Gottingen拜访这位老人家，他在门口见到女管家时，问道教授先生在么？女管
 
家训斥道，枢密官先生在家。一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数
 
学家在英国科学界的地位，譬如说Newton。Wiener见到Klein的时候，感觉就像去拜佛，
 
后者高高在上，Wiener的描述是"对他而言时间已经变得不再有任何意义"。Gottingen的传说
 
4．
关于Klein
 
还有一个故事，当初王诗宬老师请了一个法国的拓扑学家来北大做报告，他讲的东西和
 
双曲几何有些关系，半路上，突然讲到了Klein和Poincare的故事，说是Klein和Poinca
 
re都在研究自守函数什么的，对于2维的的情况，Poincare把自己的结果用Fuchs的名字
 
来命名，因为这个人的东西他曾经看过，并且有很大的影响，Klein感到特别的不爽，他
 
也得到了这样的结果然而Fuchs本人对此却一无所知，如此冠名，他自然觉的很不妥。后
 
来，他和Poincare分别做3维的情况，无奈自己不是Poincare那样的天才，用功过度，体
 
力不支，身体都垮了，从此结束了自己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这么
 
东西，于是把3维自己得到的群命名为Klein群。
 
当时王老师也特别想将这个故事，自己踌躇了半天，后来说这个东西是法国人很有面子
 
的一件事情，还是让这个法国人讲了。
Gottingen的传说
 
开始讲D.Hilbert吧
 
5．
David Hilbert并不是Gottingen毕业的。19世纪80年代，Berlin大学的博士论文答辩，
 
需要2名学生作为对手，他们向你不停的发问。Hilbert的一个对手是Emil Wiechert(埃
 
米尔.魏恰特),后来是最著名的地震学家。那时候，德国（也许叫做普鲁士）的大学教授
 
特别少。Berlin之后3名数学教授，一般的大学至多2个。
 
Hilbert的博士宣誓仪式，校长主持："我庄严的要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良
 
心承担如下的许诺和保证：你讲勇敢的去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩；既不
 
为厚禄所驱，也不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。"
 
欧很想知道现在北大的授予博士仪式是不是也有类似的话
 
6．
Hilbert上了年纪的时候，一次听到一群年轻人正在谈论一个他知道数学家。那时候，M
 
inkowski这些他很熟的人，有很多都已经故去。他特别关心正在被谈论的这个人，当大
 
家说完这个人有几个孩子之类的事情之后，他就问说："...他还‘存在'么........"
 
Gottingen的传说
 
7．
一次在Hilbert的讨论班上，一个年轻人报告，其中用了一个很漂亮的定理，Hilbert说
 
:"这真是一个妙不可言（wunderbaschon）的定理呀,是谁发现的？"那个年轻人茫然的
 
站了很久，对Hilbert说："是你......."。
 
8．
Gottingen广为流传的一个关于Minkowski的故事，说是他在街上散步，发现一个年轻人
 
正在默默想着某个很重要的问题，于是Minkowski轻轻的拍拍他的肩膀，告诉他"收敛是
 
肯定的"，年轻人感激而笑。
Gottingen的传说
 
9．
H.Weyl刚去Gottingen的时候,被拒之"圈"外。所谓的圈，是指Toeplitz, Schmidt, H
 
ecke和Haar等一群年轻人，大家一起谈论数学物理，很有贵族的感觉。一次，大家在等
 
待Hilbert来上课，Toeplitz指着远处的Weyl说："看那边的那个家伙，他就是Weyl先生
 
。他也是那种考虑数学的人。"就这样子，Weyl就不属于"圈"这个集合了。这个故事
 
是Courant讲的，Haar当时是Hilbert的助手，Gottingen当时的人们无一不认为他将是那
 
种不朽的数学家。但是事实证明，Weyl的伟大无人能比，尽管Haar在测度论上贡献突出
 
，但是Courant还是说他和Weyl"根本没法相比"。
 
10．
von Karman（冯.卡门）通过Haar的介绍来到Gottingen,等到Haar去了匈牙利之后，他很
 
快成为"圈"内的领袖。圈外人Weyl再一次证明了他的优秀，他和Karman同时爱上了才
 
貌双全的一个女孩，并且展开了一场竞争。最终圈内人都感到特别的沮丧，因为那个女
 
孩子选择了Weyl。
 
Gottingen讲得太多了吧
先停几次，多讲几件烂事
然后再讲
hiahia
 
先介绍一个人，L.V.Ahlfors, 和另一个美国的数学家共同分享了第一届的Feilds奖。欧
 
知道他的一部分工作，就是展示给大家复分析和双曲几何之间的深刻联系，把曲率之类
 
的几何概念引入了复分析，给出了Schwarz引理的几何上的漂亮解释。他还在共形映射，
 
Riemann曲面领域都是贡献非凡。
 
下面是一个很传奇的事情，欧希望那些认为数学没有"用"的看看数学家是如何认为数
 
学有用的。hehe
 
L.V.Ahlfors说这些话的时候，正是二战受封锁的时候
"Feilds奖章给了我一个很实在的好处，
  当被允许从芬兰去瑞典的时候，
  我想搭火车去见一下我的妻子，
  可是身上只有10元钱。
  我翻出了Fields奖章，
  把它拿到当铺当了，（！！！！）
  从而有了足够的路费
  ......
  我确信那是唯一一个在当铺呆过的Feilds奖章......"
 
 
在讲几个小事情，都是蛮有意思的那种
明天继续Gottingen
 
这一个是因果循环的
 
Hilbert写的第一篇关于Dirichlet原理的文章，希望Fredholm能够欣赏，但是Fredhold
 
根本就没看；F.Riesz写了很多文章，希望Hilbert能够欣赏，但是Hilbert根本就没看；
 
M.Riesz写了很多文章，希望F.Riesz能够欣赏，但是F.Riesz根本就没看......
 
再来一个苏联大牛的
 
39年的时候，Kolmogorov决定在冰水中游泳，结果以住院告终，医生一致认为他差点
点死掉；但是，70岁的时候，突然决定到莫斯科河里游泳，仍然是冰水，这一次却没有事
 
情。
 
Gottingen 的传说
 
开始讲一下Edmund Landau的故事。
 
11．
E.Landau是后来的Gottingen的数学系系主任，此人不仅解析数论超强，而且超级有钱。
 
曾有人问他怎么能在Gottingen找到他，他很轻描淡写的说："这个没有任何困难，它是
 
城里最好的那座房子。"
 
12．
Gottingen 1909-1934年的数学系主任是Edmund Landau。Landau的工作习惯很奇怪，用
 
6个小时工作，6个小时休息，如此交替。他收到过无穷多关于证明了Fermat大定理的信
 
件，后来实在没有精力处理，就印了一批卡片，样子大概是这个样子的
            ---------------------------------------------------------
                 亲爱的_____
                 谢谢您寄来的关于Fermat大定理的证明。
                 第一个错误在
                 ______页 ______行
                 这使得证明无效。
                                            E.M.Landau
                ---------------------------------------------------------
尽管有很多的稿件都退了，据说剩下的还有3米多高。

Gottingen的传说
 
继续讲Landau的故事和Landau讲过的故事
 
13．
 
E.Landau是比较自大的那种人，根本看不起物理化学，包括应用数学,他把任何和数学的
 
应用有关的东西贬为"润滑油"。一次Steinhaus的博士考试需要一个天文学家的提问。
 
Landau似乎很关心，就问Steinhaus都被问了什么问题，当他知道是有关3体问题的微分
 
方程的时候，大声的说："啊，如此说来，他知道这个......."
 
14．
 
A.Rosenthal曾经和Landau住一个房间。一天，
Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年的Dedekind和他絮叨了一下午的废话，Dedekind
狠狠的抱怨当年Guass对他不公平，在他的博士学位考试时，问了一些特别难的问题。
 
Gottingen的传说
 
两个间接的和Gottingen的人有关系的事情
Dehn是Hilbert最得意的弟子之一，曾经率先解决了一个Hilbert问题。

15．
 
Max Dehn离开Gottingen躲避纳粹追捕的时候，经过苏联，换火车的时候，在海参崴逗留
 
了一阵，闲来无事去了当地的图书馆，这里的数学书仅仅占一个架子，全部都是Spring
 
er-Verlag的黄皮书。
 
16．
 
Poincare也曾去Gottingen演讲，顺便攻击了一下Cantor的集合论，Zermelo当时恰好证
 
明的每个集合都可以良序化，Poincare演讲的时候他恰好坐在靠近Poincare脚边的位子
 
上，然而Poincare并不认识Zermelo，他大喊道："Zermelo那个几乎独创的证明也应该
 
彻底的毁掉，扔到窗外去！"Zermelo本来就性情古怪暴躁，那天更是绝望盛怒。
Courant甚至认为Zermelo一定会在那天吃正餐的时候杀死Poincare。
 
Gottingen的传说
 
17.
Caratheodory是希腊的一个富人子弟，后来在测度等很多方面有着重要的贡献，北大图
 
书馆还有他的一本讲复变函数的书，非常的几何化，特别优美。他当初是一个工程师，
 
26岁突然放弃了这样一个有前途的职业来学习数学，众人很不理解，他说："通过不受
 
束缚的专心的数学研究，我的生活会变得更有意义，我无法抗拒这样的诱惑。"他选择
 
的学校是Gottingen.
 
18.
W.F.Osgood是原来Havard的数学教授，来中国讲过课，我这里还有他在中国的讲稿:-)。
 
他也是Gottingen毕业的，娶了一德国姑娘，在美国保持着德国的传统。大概是在Gotting
 
en受的影响太大，Osgood做事都模仿F.Klein。他留着欧洲式的头发，抽烟的时候不停的
 
用小刀戳雪茄，一直抽到发苦的烟蒂头。
 
Gottingen的传说
 
从明天开始，再也不说Gottingen了
 
19.
 
由于纳粹对犹太人采取的政策，很多数学家都离开了Gottingen。一次纳粹的教育部
长问Hilbert说Gottingen
的数学现在怎么样了，Hilbert说："Gottingen的数学，确实，这儿什么都没有了
。"Gottingen从那时开始一蹶不振。
 
20.
 
这一个几乎和Gottingen没有什么关系，很多数学家都是这个样子，开始的时候
自己的工作的不到承认的，譬如说S.Lie当初的李群，Cantor当初的集合论，等等。
 
Grassmann最初是一个预科学校的教员，尽管那个时候，他就做出了反交换代数这一大
堆重要的东西，但是那个时代数学家从来不曾重视他的成果。Grassmann自己不的不放弃
 
数学这个没有前途的职业，化了不少功夫在印度的梵文，把一个叫做Rig-Veda的印度古
 
经译成了德文。所以Grassmann在当时的语言界受到了更多的尊重。
 
在Gottingen的图书馆里有一本Grassmann的写的维数论，标题页上面用铅笔写着Minkow
 
ski的名字，序言后的脚注是："书付印时作者已去世。"Minkowski用几行字，清楚的
 
表达了Grassmann的成就："新版本将比三十多年前收到更多的尊重。"
开始讲述Einstein和他的广义相对论
作为从Gottingen的故事到其他的故事的一个过渡
 
选一句永远让我心驰神往的话
 
关于这个宇宙最让人难以理解的地方就是她竟然是可以被理解的。
                                                 ——Albert Einstein
 
1．
 
Einstein构思广义相对论的时候，尽管他的数学家朋友教了他很多Riemann几何，他的数
 
学还是不尽如人意。后来，他去过一次Gottingen,给Hilbert等很多数学家做过几次报告
 
，他走不久，Hilbert就算出来了那个著名的场方程，Hilbert的数学当然比Einstein好
 
很多。不久，Einstein也得出来了，有人建议Hilbert考虑这个东西的署名权问题，
Hilbert很坦诚的说："Gottingen马路上的每一个孩子，都比Einstein更懂得四维几何，但是，尽管如此，发明相对论的仍然是Einstein而不是数学家。"这篇文章是欧连载的第21篇
献给欧的室友mashimaro
他刚刚在这个世界上混迹了21个年头
今天是他的22岁生日
祝愿他和fayejay两个人永远快乐开心
 
说两个欧听来的故事
讲的是这个世界上最漂亮的一套理论
广义相对论
 
 
据说，Einstein的场方程的第一个球对称的解，也就是Schwarzschild解，是同名的这个
 
人，在一战的战壕里给出的。Schwarzschild是Gottingen的天文学的教授。
 
Edditnton是一个伟大的天文物理学家，下面这个故事是讲他如何吹牛的
 
Albert Einstein的广义相对论发表没有多久，有记者去采访Eddington,
说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论，不知这三个人都是谁？Eddington低
头沉思，很久没有回答。那个记者忍不住又问了一遍，Eddington说："我正在想谁是第
 
三个人......"
 
这个故事是一个gg告诉我的：-），还是讲Einstein
不过没有提到很地道的数学家
 
似乎每一个伟大的人物都以和Einstein交谈过感到无比的光荣。杨振宁提到他当初见
Einstein的时候，过于激动，以至于事后根本不知道自己说过什么Einstein又说过什么
 
。Lev Landau，苏联最伟大的那个物理学家，就说自己当年参加某会议的时候，有幸和Ei
 
nstein说过几句话，而有某个认识Landau的人说Landau纯属幻想，当时此人和Landau一
 
起，坐在那次开会的大厅的最后几排，连听都听不清，根本不可能谈话。可见Landau对
 
Einstein的景仰程度。
 
讲几个Einstein和数学家的事情
 
Einstein描述广义相对论，用的数学就是弯曲空间上的几何学，意大利的数学家
Levi-Civita在这种几何学上做出了突出的贡献。所以，有人问Einstein他最喜欢
意大利的什么,他回答是意大利的细条实心面和Levi-Civita。
 
Einstein是Minkowski的学生，旷了无穷多的课，至于多年以后，Minkowski知道了
Einstein的理论的时候，感叹道："噢，Einstein,总是不来上课——我真的想不到他能
 
有这样的作为。"
 
一次，P.Halmos和妻子遇到了Einstein和他的助手，Einstein很想知道"她"是谁，助
 
手就说是Halmos的妻子，然后Einstein又问Halmos是谁......Halmos最没有面子的一次。
--
开始写毕业论文了
先写一个和论文有关系的东东
 
A.Coble是上个世纪美国的院士，做代数几何，一度很有影响。据称，他有无穷多个博
士论文的题目：当你证明了一个2维的情况的时候，他叫下一个博士生去证明3维的情况
 
，然后叫下下个博士生去做4维的。后来有个叫Gerald Huff的博士，不但做了5维的情况
 
，而且对一般的n也解决了。这就让Coble的未来的无穷个博士无所事事了。Coble很怒。
 
 
-----------------------
 
讲完了Einstein,继续John von Neumann (冯.诺伊曼）应该是符合道理的，这个造计算
 
机的数学家。
 
 

---当我们每次用电脑Game的时候,就应该对Neumann示以最崇高的敬意。---
 
Neumann的就业态度
 
von Neumann移居美国的动机，很有特别的地方。他用了一种自己认为合理的方法，发
现在德国将来的3年中，教授的职位的期望值是3，而候补的人数期望为40，这是一个不
 
理想的就业前景，所以到美国去势在必行。这就是他的根据，此时并没有涉及到政治的
 
形势。
 
------
阿基米德比荷马更有想象力。
                        ——伏尔泰
------
继续冯.诺伊曼的表演
 
von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题，就是两个人相向
而行，中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后，狗走了多少的这种。应该先求
出相遇的时间，再乘狗的速度。如果没有什么记错的话，小时候听说过苏步青先生
在德国的一个什么公共汽车上，就有人问他这个问题，他老人家当然不会感到有什
么困难了。von Neumann也是瞬间给出了答案，提问的人很失望，说你以前一定听说
过这个诀窍吧，他指的是上面的这个做法。von Neumann说："什么诀窍？我所做的
就是把狗每次跑得都算出来，然后算出那个无穷的级数。"......
 
Banach在1927年参加一个数学的聚会的时候，他伙同众多数学家，一起用伏特加灌
Neumann，最终Neumann不胜酒力，去了厕所，估计是呕吐。但是Bananch回忆道，当
他回来继续讨论数学的时候，丝毫没有打断他的思路。
 
最后两个关于冯.诺伊曼的故事
祝大家五一节愉快
 
von Nuemann的年纪比Ulam要大一些，不过两个人是最好的朋友，经常在一起谈论女人。
 
包括他们坐船旅行，除了数学之外，就是旁边的美女，每次Nuemann就会评论道："她
们并非完美的。"他们一次在一个咖啡馆里吃东西，一个女士优雅的走过，Neumann认出
 
她来，并和她交谈了几句，他告诉Ulam这是他的一位老朋友，刚离婚。Ulam就问："你
 
干吗不娶她？"后来，他们两个结了婚。
 
一次Princeton举行的物理演讲，演讲者拿出一个幻灯片，上面极为分散的排列着一些
实验数据，并且他试图这些数据在一条曲线上。von Neumann大概很不感兴趣，低声抱怨
 
道："至少它们是在同一个平面上。"
 
数学有害健康，大家过节了还是不要看书的好。
下面是历史上最天才的几个数学家在这个时间轴上存在的长度：
Pascal 39岁；Ramanujan 31岁；Abel 27岁；Galois 21岁；Riemann 39岁。
身体重要的说。
 
数学家是天生的，不是造就的。
                              ——H.Poincare

de Moivre 21岁的时候，已经靠教数学为生，并且深信自己完全精通了这门学问。一个
 
偶然的机会，他在一个公爵家里做客，且好Newton送来了自己的《原理》，他信手翻了
 
一下，惊奇的发现，数学竟然如此精深如此美丽的一门学问。这样，他买下了这本书，
 
尽管为了教学需要四处奔波，他还要撕下书页，以便能够带在口袋里，空闲时进行研究
 
。
 
de Moivre（棣.莫佛）有个定理好像我们中学的课本里就有，说的是一个复数n次方的事
 
情。

 In mathematics we believe.
来说一个古老一点的人物
 
Pascal据说14岁的时候，就已经出席了法国高级数学家的聚会，18岁发明了一台计算机
 
，是现在计算机的始祖。尽管如此，Pascal成年之后最终致力于神学，他认为上帝对他
 
的安排之中不包含数学，所以完全的放弃了数学。35岁的时候，Pascal牙疼，不得不思
 
考一点数学问题来打发时间，不知不觉间，竟然疼痛全无。于是，Pascal认为这是上天
 
的安排，所以继续开始做数学家。Pascal这次复出的时间不到一周，但是已经发现旋轮
 
线的最基本的一些性质。尔后，他继续研究神学。
 
神学也是Newton最终的选择。 :-))

Kolmogorov(柯尔莫戈洛夫)是苏联最伟大的数学家之一，在很多很多的领域做出了
开创性的工作；Cauchy(柯西）就不用介绍了，从中学开始我们就认识这个法国人了。
 
今天我们就来说这两个姓柯的牛人
 
Kolmogorov关于数学天赋的见解。当然，很大程度上我认为他想通过这段论述来吹嘘一
 
下。柯牛人认为，一个人作为普通人的发展阶段终止的越早，
这个人的数学天赋就越高。"我们最天才的数学家，在四五岁的时候，就终止了一半才
 
能的发展了，那正是人成长中热衷于割断昆虫的腿和翅膀的时期。"Kolmogorov认为自
 
己13岁才终止了普通人的发展，开始成长为数学家；而Aleksandrov是16岁。
 
Lagrange曾经预见了Cauchy的天才，苦心的告诫Cauchy的父亲，一定不要让Cauchy在十
 
七岁之前接触任何数学书籍。这个巨象当年某些人不让张无忌学武功（好像有点不恰当
 
）。:-))
说几个数学家作为教师的生涯吧，大部分出名的人物讲课都不是太出色，或者说
偶尔会很失败。
譬如说 Newton 当初就经常对着空空的讲堂，他讲东西第一不是太清楚，第二太
难，所以Cambridge的学生没有人喜欢他的课。
 
从一些大家不是太熟悉的人讲起。
 
Mondelbrolt是靠着画分形出名的，其实他的叔叔，Mandelbrojt是个更为出色的数学家
 
，曾经是Bourbaki最早的几个成员。他做学生的时候，大老远从波兰到法国读数学，去
 
了之后精神上受到了严重的伤害，因为他选了Goursat的分析课，然而Goursat上课永远
 
用一种语气，讲述二三十年前就有的旧东西，听了三周左右的课，Mandelbrojt感觉和自
 
己梦想当中的课差的太远，竟然哭了出来。不过，几年后，Bernstein来到巴黎，安慰
Mandelbrojt说Goursat二十多年前就这么讲课。不过Goursat对人是很热情的。
 
遥想当年Mandelbrojt那求知的感情，是多么的纯真。那种东西，似乎已经在也不属
于我们这个时代。
 
还是有的数学家讲课不错的。
Lebesgue尽管开始研究的东西很奇怪，不过他的讲课确实出奇的得受欢迎。
Picard则是个古怪高傲的人，他的老丈人是Hermite,两个人都是对分析很感兴趣。
 
和Lebesgue一起，是一件很开心的事。据说，Lebesgue的课，总是有无穷的人去听课的
 
，大部分人因为Lebesgue讲课不但深刻，而且很有意思。一次，一个国外的学者来法国
 
报告自己的工作，Lebesgue说你不用报告了，我替你报告吧。:-)
 
Picard总给人一种高不可攀的感觉，令人不敢接近。每次Picard上课的时候，前面有一
 
个戴有银链子的校役引路，他高傲的踱入教室，在椅子上放有一杯水，Picard先喝一口
 
水，然后开始讲课，大约半个小时，他再喝一口水，一个小时以后，那个银链子校役就
 
会来请他下课。
Lindemann，也就是证明了π的超越性的人,据说是历史上讲课最烂的的几个人之一。
此处收集他的故事两则，一个是说他讲课，一个回忆了一下他在巴黎求学的两件小
事，还是蛮可爱的。
 
传说中Lindemann讲课课大部分时间根本就听不清，听清的话都是不可理解的听不懂
的话，而少数情况下，他讲的话又清楚又听的懂，那就是错话。
 
Lindemann到巴黎学习的时候，听过Bertrand和Jordan的课，当时学数学的人太少，
尽管Jordan在法国算是领袖级的数学家，听他的课的人只有3个，偶尔会达到4个，
其中却中一人是因为教室里暖和。
 
Lindemann还曾拜访过Hermite,让他难忘的一点事，那里有一把椅子，是当年Jacobi
坐过的。：-））
 
优秀的数学家在定理或理论之间看到了类似
                卓越的数学家则从类似中间看到了类似
                                                         ——Banach
 
毋庸置疑，Lefschetz和Wiener都是这种可以从相似之间看到相似的数学家
不过他们的讲课技巧实在是不能让人恭维。
 
Rota曾讲了一个Lefschetz的故事，关于他的课是如何难懂得，因为他经常语无伦次。
这是几何课的开场白："一个Riemann曲面是一定形式的Hausdroff空间。你们知道Haus
 
droff空间是什么吧？它也是紧的，好了。我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是
 
什么。现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理--Riemann-Roch定理。"要知道第一节R
 
iemann曲面的课如果这样进行的话，恐怕Riemann复生也未必可以听懂。：-）
 
Wiener尽管是个天才，却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来
 
一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的事情，Wiener天真的认为自己懂一种
 
汉语，一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会，但是服务员却根本不知道他讲的是汉
 
语。最后，Wiener不得不评论："他必须离开这里，他不会说北京话。"......
 
下一次说一些法国数学家的事情。
数学家犹如法国人：
无论你对他们说什么，他们把他翻译成自己的语言，于是就成了全
然不同的东西。
                                                 —— 歌德
法国的数学家就可想而知了。:-))
从最天才的人谈起
 
Galois一共参加了2次Polytechnique的考试，第一次，由于口试的时候不愿意做解释，
 
并且显得无理，结果被据了。他当时大概十七八岁，年轻气盛，大部分东西的论证都是
 
马马虎虎，一般懒的写清楚,并且拒绝采取考官给的建议。第二次参加Polytechnique的
 
考试，他口试的时候，逻辑上的跳跃使考官Dinet感到困惑，后来Galois感觉很不好，一
 
怒之下，把黑板擦掷向Dinet,并且直接命中。Galios的天才是不可否认的，不过person
 
ality是少一点了，后者在Polytechnique考试中很重要。最后和Galois决斗的那个人，
 
是当时法国最好的枪手，Galois的勇气令人钦佩。两个人决斗的时候，相距25步，
Galois被击中了腹部。
 
 
数学家犹如法国人：
无论你对他们说什么，他们把他翻译成自己的语言，于是就成了全
然不同的东西。
                                                 —— 歌德
 
1856年的时候，Hermite患了严重的天花，并好之后，经过Cauchy大力怂恿，竟然皈依
了罗马的天主教。就在这个期间，他和德国的Fuchs一直通信联系，于是，Klein说
Hermite"在气质上不是一个领袖人物"。当然，Klein如此的评论有些个人恩怨的成分
 
，可以参见这个系列文章的(9).
 
在一次国王接见Cauchy的时候，他有五次回答国王的问题是都这样说："我预料陛下将
 
问我这个问题，所以我准备好了答案。"然后，他从口袋里拿出笔记本，昭本宣读。
法语是一种恐怖的语言，Birkhoff是上个世界初美国最著名的数学家之一，一个西方人
 
学习法语，按照常理说应当有一定的优势，不过当他老人家去了法国的时候，还是遇到
 
了麻烦。
 
Hadamard曾在法国主持讨论班，有很多人慕名而来，Birkhoff就这样子来到了法国，不
 
过他的法语实在太差。
那几天，巴黎一直下雨，一天Birkhoff见到了Mandelbrojt问："一周......几次？"大
 
概中间的词他不会发音。
Mandelbrojt说："两次。"
"什么，两次？"
"是呀，礼拜二和礼拜五。"
"怎么可能呢？"
"下午三点半开始，五点之前就结束了。"
"这个绝对不肯能！！！"这个时候Birkhoff已经快疯了。
后来Mandelbrojt才知道原来Birkhoff问的不是讨论班的时间，而是什么时候下雨。
祝贺未明Science版聚成功,4个报告成功，ggmm们高兴地说
espicially to 5 persons: ruster,yyf,daijianium,lunagrass and arben
:-)))
 
所有的数学家生活在两个不同的世界里。一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世
 
界，一座冰宫。但他们还生活在普通世界里，事物因其发展或转瞬即逝，或模糊不清。
 
数学家们穿梭于这两个世界，在透明的世界里，他们是成人，在现实的世界里，他们则
 
成了婴儿。
                                                               ——S.Cappel
 
说3个可爱的法国学家爷爷当年的事情,一个是Hadamard，最出色的法国数学家之一，无
 
论在几何，分析那个方面，都是经常那种用名字来修饰"定理"这个词的人；一个是
Lebesgue,实变函数论的创始之人，其对数学的贡献不言而明；还有一个叫做Montel,相
 
对于前两个人不是那么出名，不过在复分析当中有一个极其重要的概念，叫做Montel正
 
规族，就是用他的名字命名的。
 
这三个人都是巴黎高等师范学校毕业的（不好意思，要么Hadamard就是从Ecloe Poly-
technique毕业的），Hadamard是他们那一届的第二名，一生都对那个第一名不忿，尽管
 
那个人作为数学家来说和他严格不是一个档次；Lebesgue和Montel是同一级的学生，分
 
别是当年的第三和第二名，两个人一生都是很好的朋友，据说那个他们同一届的第一名
 
仍然在数学方面和他们不能相提并论。
 
先说Hadamard的诡异嗜好。
 
他老人家是一个狂热的蕨类植物收集者，一次他带领自己的小妹妹到阿尔卑斯山去采集
 
这些东西，把妹妹放在一个冰河旁边，采玩了之后就自己兴冲冲的回家了；他这种马虎
 
一直改不掉，到了40年的时候，他成功的在忘了带护照的情况下，从法国动身去了美国
 
；当然，蕨类植物也是他一生的最爱，老年的时候，他去莫斯科访问，Kolmogorov和
Aleksandrov陪同他坐船，Hadamard忽然很兴奋得让他们靠岸，自己激动得站在船头，最
 
后终于掉到了水里，原来他发现岸上有一种罕见的蕨类植物。
 
再说Lebegue和Montel,他们后来工作也是在一起厮混，所以下面的事情经常发生。
 
一次，Lebesgue打电话（那个时候有电话，大概很富有了）给Montel讨论一个事情，两
 
个人各持己见，吵了一个小时（那个时候的电话怎么收费？）也没有结果；第二天早上
 
，Lebesgue有给Montel打了一个电话，说我开始同意你的说法了，然而Montel说我也同
 
意你的了，于是又开始争吵。
 
今天不小心写了好多的说 ：-））
 
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穿过Plato学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是 ：
"不懂几何者请勿入内。"
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昨天Science版聚，讲到了一个和倍立方有关的小故事，也就是如何用直尺圆规做
一个正方体它的体积是给定的正方体的2倍。当然这个问题用一点域扩张的知识，就
可以证明是做不到的，和三等份已知角一样的。最初，在雅典流行瘟疫，人们很恐
慌，就去求助于神，神谕说要使得瘟疫消失的充要条件是把一个立方形神坛重新建为
一个体积是原来2倍的。按照古希腊的规矩，就是要用尺轨作图。于是大家去问Plato
,Plato说这是神的旨意，用来警告大家要对几何学有着足够的敬意。

回过头来说法国。
 
法国的数学家大都对抽象的东西情有独钟。Lagrange写出了他著名的分析力学的书的时
 
候，就骄傲的宣称书中"没有一个图"；A.Weil在教师资格考试时，理论力学交了白卷
 
，他认为那根本不算数学。A.Weil就这样子，曾经Pierre Carier问他Gottingen的事情
 
，提到量子力学的时候，Weil根本不知所云，尽管当时Hilbert,Bohn,Heisenberg都在做
 
量子论。后来，Chevally和Weil在悼念Weyl的时候，根本不提Weyl的物理学的成就，然
 
而大家公认Weyl最有名的两本书一本关于相对论，一本关于量子力学。

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11岁的时候，我开始学习Euclid的书，并请我的哥哥当我的老师。
这是我生活中的一件大事，犹如初恋般的迷人。
                                           ——B.Russell
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第39篇，写伟大的却不到40岁的Riemann。在100多年后的今天，他的思想还是能够
让人们感到最强烈的震撼。在此表示深深的敬意。
 
Riemann的父亲是个牧师，家里特别的穷，从小体弱多病，也打算做牧师。有一个人（据
 
说是Rieamnn的中学校长）发现他在数学上比在神学上更有潜力，送给他一部Legendre的
 
数论书。Legendre是一个伟大的法国数学家，他的书十分的晦涩难懂。
六天之后，Riemann就找到那个人把这本859页的名著还了，说："这本书的确十分的精
 
彩，我已经看懂了。"这个时候Riemann只有14岁。
 
Riemann19岁的时候去Gottingen读神学，平时也会听一些数学的课程。他比较喜欢泡在
 
图书馆里。一次，他在那里找到了Cauchy的分析的著作，如获至宝，读完之后，便坦然
 
的决定放弃神学，从此开始读数学了。
 
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天行健
君子以自强不息
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昨天有人批评道说这个系列的文章有一种过分吹捧天才的倾向
欧觉得批评的特别的有道理
每一个数学家的成功除了他们的天分之外，更加让人们钦佩的是他们
完全忘我的疯狂如自杀般的工作。
 
今天举两个牛人，Siegal(西格尔)是那种很聪明又很努力的，而Kodaira(小平
邦彦)自己经常说自己天资不好，但是他从中学开始就是那种做事情一丝不苟
全身心投入的人，他回忆自己第一次学习van de Wearden的《代数学》，几乎
学不懂，然后就开始抄书，一直到抄懂为止，可见的Feilds奖的人的学习方法
也不见的先进，唯手熟尔。
 
Siegal曾经说过，他可以从早上9点起，研究数学，一直到深夜12点，不吃不喝，最后
把一天的食物一并吃掉，弄得胃很不舒服。Siegal被Kodaira称为"非常勤奋"，被Kod
 
aira称为勤奋，可见其勤奋成都是何等的可怕。
 
Kodaira一天的生活（1949年4月19日）：
8:00起床，剃须，穿西服，外出早餐（玉米片，牛奶，咖啡）；
散步到研究所，大约9:30；
9:40--10:40 Siegal的关于3体问题的课；
11:15--12:00 Weyl的讨论班；
到食堂吃午饭；
坐车去Priceton，1:20--2:20在自己的讨论班上讲论文；
回家继续写论文；
5：30到街上的餐馆吃饭；
回家继续工作到深夜。
 
 
开始说说波兰的数学家，从Banach开始, 最最伟大的波兰数学家。
 
Banach在数学界的登场是一段美丽的传说// :"-))
 
1916年的一个夏夜，Steinhaus在一个公园里散步，突然听到了一阵阵的谈话声，更确
切的是有几个词让他感到十分的惊讶，当听到"Lebesgue积分"这个词的时候，他就毫
 
不犹豫的走向了谈话者的长椅，原来是Banach和Nikodym在讨论数学。Steinhaus就这样
 
子发现了Banach,并把他带到了学术界。他说："Banach是我一生最美的发现。"
 
波兰学派的人似乎喜欢在咖啡馆里讨论数学，Kuratowski和Steinhaus是有钱人，他们一
 
般在高档的罗马咖啡馆里谈论数学；Banach,Ulam和Mazur穷一些，整天呆在一个苏格兰
 
咖啡馆里，那里的老板挺不错，即使过了营业时间，也不会赶他们。这样子很多年轻的
 
数学家都来到这里，每次有什么重大的发现，就纪录在一个大的笔记本来，并保存在店
 
里，这就是著名的苏格兰手册。当然，老板对他们好的一个原因就是他们每次都可以消
 
耗大量的啤酒，据说有一次聚会长达17小时，其间，Banach不停的饮酒， Ulam说
Banach是难以超越的,英文的原文是difficult to overlast and to overdrink Banach。
 
 
德国人在二战的时候，需要大量的寄生虫繁殖疫苗，于是就雇佣了很多波兰人，把装有
 
寄生虫的盒子戴在他们的手腕上，一人体作为寄主。Banach曾经就拥有这么一个盒子，
 
其报酬是不会像Saks一样被杀死。一半以上的波兰数学家死于战争。
 
一个故事说M.Stone的父亲可爱的语言；另外讲了一个Harvard的数学教授，这个人到底
 
做过什么出色的工作，我也不知道，只是其中提到了30年代的教学情况，特别好玩。
 
1.
M.Stone写了一本关于Hilbert空间的书，他的父亲谈到自己的儿子时，总是自豪的
说："我困惑又很高兴，我的儿子写了一本我完全不理解的书。"
 
2.
1932年J.J.Gergen不的不在一门讲授Fourier级数课程时，不使用一致收敛的概念，原
因是Havard大学的数学系一致的认为一致收敛这个概念对本科生来说太难了。
 
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我不知道世人怎样看我;可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子，
不时的为拾到更光滑些的石子或更美丽的些的贝壳而欢欣，而展现在我面
前的是完全未被探明的真理之海。
                                                 ——Issac Newton
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这段话不同于他说的那段"站在巨人的肩上"，因为"肩上"那句话是他出来吹捧
一下Hooke(胡克),或者说讽刺一下，那个时代总是为着各种东西的发明权而喋喋不
休。
 
Newton的一生落落寡合，没有结婚，也没有知心的朋友，人们结交他都是因为他很
高的地位和渊博的学识。一个同事回忆说他只见过Newton笑过一次，当时，有一个
人问Newton说Euclid的几何原本如此的老朽，不知道有什么价值。对此，Newton放
声大笑。:-))
 
对很多人来说，牛顿的贝壳尽管光滑尽管美丽，确实不如一块肥皂有用。数学家做
的事情的确是这个样子，一种孩子般的游戏，纯粹的追求快感。Newton之后的几百
年，Cambribge另一个大名鼎鼎的数学家Hardy也说过这种话：
"从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。"
 
既然扯到的Hardy就说说他的轶事吧。他这个人有着各种怪癖，譬如永远不会希望见
到镜子之类的，每次到一个旅馆，总是用毛巾把各个地方的镜子都遮将起来。不说
这些乱七八糟的，说一下子他用"数学"解决的恐船症。
 
Hardy每次做船的时候，总是怕沉了。克服这个东西的一个方法是，每次不得不坐船
航行的时候，他会给同事发个电报或者明信片什么的，说已经搞定了Riemann猜想回
来之后会给出细节的。他的逻辑是，上帝不会允许他被淹死，否则这又将是第二个类
似于Fermat大定理的事情。
 
前天闲极无聊，去下载一个叫做百年大讲堂（凤凰中文台的节目)的东东看，其中是王诗
 
宬老师的讲座，讲的是纽结。
这个以前看过若干遍了，但是看完之后依然就有一种冲动。
本来再已经写好Hero系列中有王老师的，不过不打算来post，现在还是忍不住。
这两次就说两三个很小很小的事情，有历史上的人物，有王老师。
平行的叙述。
：-））
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比做学问更重要的是做人。
 
Erdos的Wolf奖金由5万美元之多，他却只留下了720美元，其余的都捐给了以色列作为
奖学金。他说："我记得有人告诉我说720美元在我已经很多了。"
 
Baire是个公认的大好人，由于数学上的贡献，得到了瑞士颁发的一份奖金，有1000法郎
 
之多，结果最后拿到了1500法郎。Baire就问他的朋友Montel说："竟然多了500法郎呀
 
。我该怎么办，是应该给一位学生发奖学金，还是自己买一件外套？"Montel建议买外
 
套。
 
王老师90年代初，得到了一份3万元的奖金，他全部捐给了希望工程，90年代初3万块钱
 
的概念大家是清楚的。
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再说一段王老师的评论，记得看过Atiyah的一个小册子，他评论道Thurston能够自如的
 
看到高维的复杂图形，Thompson可以"看"到一个群。Thurston和Thompson都是得过
Feilds奖的人。王老师给我们上课的时候，也做过这样的评论，说只要听懂了Thurston
 
的一句话就可以写一篇论文，E.Witten就是一个神。呵呵..不过他说得更有意义的是紧
 
接着的评论，说数学家有很多种，一种是像Thurston这个样子的，很聪明，所以做的工
 
作很出色；另外一种是尽管天资不是很出众，但是自己能够耐得住寂寞，非常的刻苦，
 
所以后来也是很出色的。
 
今天再讲一个王老师的故事，也是他上课时候随口说的。他说的主持讨论班这个人
就是那种工作特别刻苦，又有不错的机遇，最后做出了很大的成就。好像是Freedman吧，
 
记不得了。
 
先说一个历史上很类似的故事。
 
Mandelbrojt一次在Levi-Civita家里做客，恰好E.Landau去玩。Landau在当时也算是成
 
了名的前辈，于是Levi-Civita举行了一个小小的聚会。其间，一个老先生对
Levi-Civita讲，最近有一个荷兰的年轻人Mondebroht做的工作很出色，Landau问到那是
 
谁呀？
Mandelbrojt不得不跳出来解释说，那个人不是荷兰人，是波兰人；那个人也不叫Mondeb
 
roht，叫Mandelbrojt；那个人其实就是我......
 
做一个注释，上次有人说Mandelbrojt的拼写有错误，这欧又去核实了一下，至少这个拼
 
写的存在性是可以肯定的，可能并不唯一。反正他是现在那个最出名的做出了美丽的分
 
形图片的Mondelbrolt的叔叔。
 
王老师也有类似的经历。当年在Berkeley的一个讨论班上，一个牛人主持，讲解一篇论
 
文，王老师在期间提了一些很不错的想法。
课下，那个牛人问阁下贵姓？
"姓王。"
牛人说，太巧了，我们今天讲的论文也是一个姓王的中国人写的。
"那就是我......"
 
开始说一下mm数学家 ...... :-))
 
打算post3篇
 
她们做出的成就的的确确比不上男数学家的成就，但是我们依然能够发现
她们的事迹中有很多的伟大，很多的美丽。
 
从古希腊说起吧。那个时候，的确是一个很民主的时代，对于女性的歧视要远好于后来
 
，譬如说很多伟大的数学家哲学家对女性参与数学的态度还是很好的，譬如说
Pythagrass（毕达哥拉斯）学派当中就有女的信徒。Pythagoras本人就很鼓励女性学者
 
，当年有个兄弟会之类的东西，里面就有28个女孩,其中有一个叫做西诺的，后来就被
Pythagrass骗去做老婆了。这个女孩在当时是个比较有影响的数学家。Socrates(苏格拉
 
底） 和 Plato（柏拉图）也曾经邀请过女性去他们的学院讲学。
 
从他们往后，女性在很多的行业中受到了歧视，在哲学数学自然科学这些领域更是如此
 
了。
 
有一个令人心痛的故事，讲的是Hypatia (西帕蒂娅) ，她处的时代就是Plato他们
往后那么一点的时候。Hypatia本身是个很优秀的数学家了（在那个时代），她的演讲
很出名，而且解题也是高手，其父亲是亚历山大的一位数学教授。经常有一些数学家找
 
他询问一些题目的做法，她也很少让大家失望。一个小故事说有人问她为什么不结婚，
 
她回答说她已经和真理定了婚。不过Hypatia后来极为悲惨，有个叫做Cyril的什么教长
 
之类的人，声称数学家哲学家这帮人为异端，对他们大加残害，手段令人发指。
在一个封斋的日子里，Hypatia被从马车上拖到教堂，剥光衣服，身上的肉被一群狂暴的
 
人用牡蛎的壳刮了下来。
 
mm数学家之二
 
话说时光飞逝，转眼间从古希腊来到了18世纪的意大利。尽管从物质生活到文化的各个
方面，比起希腊，已经大大的发展了，但是女性的地位相对来说还是一如既往的得不到
重视。
 
有一位被认为是当时欧洲最出色的数学家的女数学家，叫做Maria Agnesi(玛丽亚.阿涅
西） 像她这样出色数学家，在欧洲还是没有研究机构愿意提供给她职位，尤其是法国这
样的国家，更是对她不屑一顾。
 
她有一篇关于曲线的切线的文章尤为出名。但是意大利语中曲线一词叫做versiera，
好像在拉丁文还是什么文字当中是avversiera的缩写，后面这个词意思是 魔王的妻
子。于是Agnesi研究过的一段曲线(versiera Agnesi)翻译成英文的时候，就被叫做Agn
esi的女巫，后来，有一段时间，大家都这么称呼女数学家。
 
在关于女数学家的记载当中，很少有关于她们容貌的描述的，不过要说的是还是有ppmm
做了数学家，上个世纪在偏微分方程方面，Sonja Kowalewski(柯瓦列夫斯卡娅.索菲娅
）无疑是最优秀的数学家之一。她本人绝对是个一流的美女，据说当初Weiestrass也被
她的美貌深深的吸引。
 
mm数学家之三
 
每每读到她为什么选择了数学，总让我心驰荡漾........
 
在所有的欧洲国家中，法国对女性的歧视(学术上的)尤为严重。Sophie Germain(索菲
.热尔曼)就出生在这个国家。Germain当初读过一本讲Archimedes的书，说当初他老人家
 
专心的研究一堆沙子组成的几何图形，以至于一个罗马士兵问他话他充耳不闻。那个士
 
兵一怒之下把Archimedes杀死了。Germain认为，一个人可以如此的痴迷于一个东西以至
 
于置生死于不顾，那么这个东西一定时是世界上最美的最迷人的。于是她选择了数学。
 
 
开始Germain的父母强烈反对，没收了她的墨水蜡烛之类的东西，然而，Germain痴心不
 
改，终于感动了父母，一生父亲都支持她的数学工作。1794年，Polytechnique在巴黎建
 
校，尽管这里盛产数学家，但是却只接受男性，于是Germain化名为Le Blanc偷偷的混进
 
去旁听，当然，当时确实有一个人叫做Le Blanc，估计这个人比较喜欢旷课，反正他一
 
直不到，Germain得以在那里好好的读书，几个月之后，她的任课老师Lagrange发现了一
 
个很牛的学生，Germain不得不说她其实是女儿身。Lagrange毕竟不同于一般的人，他很
 
高兴有这样的一位朋友，并乐于做Germain的导师。
 
Germain不久对数论尤为倾心，可能受Lagrange的影响吧，他年轻的时候靠变分法出名，
 
年长之后在数论方面贡献卓越。Germain选择的题目是Fermat大定理，她把自己的结果寄
 
给Gauss，令Gauss特别的欣赏，她当年才刚刚20岁，而她做出的成果是当时最好的。当
 
然，她还是怕Gauss对女性有偏见，于是仍然选择了Le Blanc这个名字。后来，Napolea
 
n的军队攻入德国，Germain怕Gauss重蹈Archimedes之覆辙，于是给自己的朋友，也就是
 
当时通领三军的一位将军写信，这位将军果然对Gauss很为关照。
 
Germain后来又在物理上面做了很多东西，尤其是在弹性理论上面。由于她在数学物理上
 
的突出贡献，她最终荣获了法国科学院的金质奖章，并成为第一位不是一某位成员的夫
 
人出席科学院讲座的女性。在生命的最后几年，Gauss说服了Gottingen大学，授予Germ
 
ain名誉博士学位。在那个时代，这是极大的荣誉。可惜在她的有生之年，未能亲自带上
 
那令人骄傲的帽子。
 
mm数学家之四
 
这是欧说的最后一位mm数学家，也是最最伟大的一位，Emmy Noether(埃米.诺特).
 
她对20世纪的数学的影响无以伦比，提到抽象代数就不得不提一下Noether.最最著名的
 
一本抽象代数的书van de Wearden的<代数学>就是采取的Noether的讲义。E.Artin,van
 
de Wearden等人都是她的学生。
 
尽管这样子，Noether在Gottingen的同事Edmund Landau还是就决给她讲师的职位，并
说"...当我们的士兵发现他们在一个女人脚下学习的时候，他们会怎么想?"不得不说
 
Landau令人不招人喜欢。最让人不能容忍的是有人问她Noethor是否是一个伟大的女数学
 
家的时候，他说："我可以作证她是一个伟大的数学家，但是对她是一个女人这点，我
 
不能发誓."
 
不过，伟大如Einstein和Hilbert的这样的人都对Noether推崇备至。Einstein曾经说N
oether是"自妇女开始受到高等教育以来最杰出的最富有创造性的数学天菜"，Hilber
 
t则支持Noether去争取一个讲师的职位，并反驳Landau说："我不认为候选人的性别是
 
反对她成为讲师的理由，评议会毕竟不是澡堂。"看来Hilbert当时有点怒了。

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四年终究有些遗憾.
             ----- mashimaro
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这是偶的室友的一个签名档，比"遗憾总是难免的"的说起来好听，但是是等价的。很
 
多数学家于垂暮之年回首往事，也总是发出这样那样的感慨，与常人无异。

从Hadamard说起，原来讲过他是个和蔼的老头，数学好的不得了，人也是这个样子，上
 
个世纪初还来过清华讲过课。
 
每每谈及往事，Hadamard总是很惋惜的说道一辈子有两件事情特别的后悔。
 
第一个在数学方面，他很早就找到了Jensen公式，由于没有发现很精辟的应用，一直就
 
没有发表，结果Jensen抢先了一步。
 
第二个是物理方面，关于狭义相对论，他也是很早就有了这样的想法，只不过没有时间
 
深入下去，后来Einstein就发表了。
 
其实Hadamard最不能忘怀的事情，决不是上面两件，而是关于自己当初考试的。以至于
 
年纪大的时候，仍然耿耿于怀，甚至到俄国和Kolmogorov都提这件事。就是Hadamard做
 
学生的时候，参加数学的会考（相当于数学竞赛吧），得了第二名，第一名后来也是一
 
个数学家，Hadamard对Kolmogorov说："事实证明后来他做得没有我好，其实他一直没
 
有我好。"
 
--
当初Fermat证明不了东西时候，就写下了这句话
Cuius rei demonstrationem mirabilem sabe
detex marginis exiguitas non caparet.
翻译成中文就是
我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里的空白太小，写不下。
 
后来，Hilbert也会了类似的技巧，
有人问Hilbert为什么不去证明Fermat大定理，他说为什么要杀死一只下金蛋的母鹅，因
 
为这样的一个对整个数学发展有着如此深远推动的问题太少了。不过个人认为他没有能
 
力杀死这只鹅。
 
还有另外一个和金蛋有关的事情，不过和数学家没有关系。当初欧洲的反法联军快攻到
 
巴黎的时候，Ecole Polytechnique的学生要求上战场，保卫国家，拿破仑说："这怎么
 
可能呢，我不能为了打赢一场战争，杀死一只会下金蛋的母鸡吧。"熬夜写东西,无聊之际,过来说一个不学数学的人一般不知道的人吧
刚刚看到了和他有关系的一个定理的说
:-))
 
H.Whitney是很著名的美国数学家，做了很多很重要的工作，譬如说向量丛的Stiefel-
Whitney类是用他的名字命名的，还有一个著名的定理，说每一个n维的流形都浸入一个
 
2n-1维的欧氏空间嵌入一个2n维的欧氏空间，也是他的结果。欧们的图书馆里还有他的
 
论文集的。
 
很难想象,他本人一开始竟然不是学理科的.
 
Whitney的本科时候读的却不是数学，话说他学业完成，到欧洲大陆去玩，大概是到了
Gottingen还是什么地方了，反正是个很有名的地方，当时有一个很牛的物理学家（不是
 
海森堡就是薛定谔）正在做一个关于量子力学的讲座.
 
等得讲座结束之后，Whitney什也么没听懂，感觉及其不爽，于是找到了那个主讲的人，
 
说，先生，我觉得你做的讲座很不成功.
 
主讲的教授很纳闷，就问他说为什么.
 
Whitney回答说，我可是Yale大学的优等的毕业生，你讲的东西我竟然听不懂，这难道不
 
是你讲的有问题么。
 
那个教授继续问,你是读什么专业的。
 
Whitney回答说,我是读小提琴的.....
 
教授大大的分特了，说这个我也没有办法，你要想懂的这些东西的话你应该学一点基础
 
的课，于是告诉他这个世界上还有数学分析和线性代数等等...
 
Whitney回美国之后就开始发奋学习数学，据说半年之后就可以参加很高级的讨论班了.
 
 
当然他是非常刻苦的, 数学的历史上还是有很多这种大器晚成的例子的.
 
-----------
上帝之所以存在
是因为数学是相容的
而魔鬼之所以存在
是因为我们不能证明数学是相容的。
                                              ——Andre Weil
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一个很有意思的事情，很多很多的数学家和物理学家都特别的喜欢音乐，一个很出名的
 
例子就是爱因斯坦。数学家当中也是这个样子，大家在做完了数学之后，也会醉心于此
 
。譬如说E.Artin,一个上个世纪影响最大的带数学家之一，据说钢琴的弹奏水平极高，
 
尤其是特别的严格，好像他做的代数一样；譬如Courant，和Artin比起来路子要野蛮一
 
些，水平也要低些，不过热情毫不逊色，还经常邀请Artin到家里演奏一番；再譬如
说J.Nash,这个人大家比较熟悉，刚刚演的A Beautiful Mind说得就是他，他原来就喜欢
 
绕着Princeton的Fine Hall游荡，并且嘴里吹着口哨，后来一个得了Feilds奖也得了
Wolf讲的人数学家J.Milnor还说，他第一次听巴赫的音乐就是通过当时Nash的口哨声。
 
 
更有甚者，譬如Dieudonne,这个法国Bourbaki的人，不但喜欢弹琴，更是能记住很多很
 
多的乐谱，据说上千页的乐谱他也能背诵。曾经一次，Dieudonne和P.Cartier去音乐会
 
，他指着手里的节目单说："乐队的演奏漏了一个字符......."
 
再譬如说，Fox,一个美国的拓扑学家，在60年代的时候，提到这个名字，就相当于提到
 
了低维拓扑这个方向，他本人的小提琴的演奏水平也相当专业。这个人比较喜欢故弄玄
 
虚，据说，在一次音乐会上，Kodaira和他一起，不料这次的演奏时不时的停顿，而且
有声音的时间要少于没有声音的。Kodaira感到特别不好听，Fox叹息道："这是受了禅
 
影响之后的音乐，我正在试图从无声之中听出有声。"
上一次说到了很多数学家都喜欢音乐。不过我的看法是似乎比较"古老"一点数学家的
 
业余爱好要少一些，当然有可能是关于他们的记载要少一些，不过我觉得他们更能够集
 
中精力，全身心的投入。从阿基米德，牛顿到高斯，黎曼，似乎出了研究之外。很少关
 
心别的事情。
 
譬如说Gauss(高斯)。听说过一件极其变态的事情，但是从另一个侧面我们也可以知道
他不仅仅是天分出众，更重要的是努力。Gauss中年的时候妻子就死去了，那个时候，
Gauss就很有名望，家里有保姆。妻子病的一塌糊涂，不过他还是专心自己的研究。这个
 
当然不是一个值得称道的品质。就是妻子的弥留之际，他还是没有去她的身旁，保姆实
 
在看不下去，就去Gauss做研究的地方去找他说让他赶快过去，Gauss随口答应了，但是
 
依然做自己的东西。保姆又来了一次，痛斥了他一番，岂知Gauss告诉她说："我马上就
 
过去，你让她再等一会......"
 
在譬如说J.Nash, 大家只是知道他的天才，却很少提到他的努力。钟开莱(Kai Lai
Chung)在Princeton的时候，遇到了这么一件事情。说一下，这个姓钟的人是一个很重要
 
的华人数学家，在概率方面很有作为。他去一个很有名的休息厅，适时恰是秋季的清晨
 
，休息厅里空空荡荡，寂静异常，就像教堂的感觉一样。大厅中间的巨大的桌子上面，
 
乱七八糟，全都是草稿纸，一个人躺在上面，正愣愣的思考。这正是Nash，很显然这又
 
是一个不眠之夜，他一直在考虑数学.
 
说几个和监狱有关系的事情，做数学这个东西的确不同于很多学科，只要有一个场所可
 
以供以静坐，有纸笔可以演算，这个世界的一切都无所谓。
 
最最著名的故事就是关于Leray的事情，他是法国Bourbaki学派的创始人之一。最初的时
 
候，他做的是分析，在流体力学和力学方面卓有贡献。后来二战爆发，Leray作为法国的
 
军官参战，40年的时候，被德国人抓到了集中营里。德国人在战争方面对于科技的重视
 
使得他们对每一个数学家和物理学家都是很关注的，而Leray做的是分析，很有可能被德
 
国人关起来去做各种各样的用来杀人的弹。为了避免这件事情的发生，他就以代数学家
 
自居，在狱中的时候依然努力的做研究，出狱的时候，发表他的那套对后世影响至深的
 
层论（Sheaf Theory）。
 
还有一个关于S.Lie的传说，这个人就是李群的那个Lie.S.Lie当年普法战争的时候呆在
 
法国，由于普鲁士口音太重，被法国当局投入监狱，后来法国战败，大概恼羞成怒，准
 
备杀掉这帮人，幸亏Darboux想方设法把Lie从那里救了出来。一个传说时，Darboux到
达牢房的时候，发现他这位朋友竟然静静的坐着研究数学，而他在研究的东西正是著名
 
Lie群。
 
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弄清π是无理数这件事可能是根本没有实际用处的
但是如果我们能弄清楚
那么肯定就不能容忍不去设法把它弄清楚
                                               ——E.C.Titchmarsh
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昨天提到了2个在监狱里做出了大手笔的数学家，还有一个和监狱有关的趣事，这个发生
 
在Gottingen,主角是E.Landau,这个人在前面提到了多次，解析数论大家，巨富无比，人
 
高傲自大，也蛮可爱的，除了当初对我们尊敬的Noether姐姐不恭之外。
 
Landau讲过Fourier级数的课，其中会涉及到一个叫做Gibbs现象的东西，当他讲到这里
 
的时候，振振有词的评论道："这个现象是Jail的英国数学家Jibbs发现的。"
 
Landau是典型的德国人，从这句话我们可以看到他的英文水平。因为这个时候，不得不
 
有人跳出来指出他的错误："第一他是个美国数学家；第二他叫Gibbs不是Jibbs；第三
 
，也是最为重要的一点时，他更不在Jail（监狱）里面，而在Yale大学。":-))
 
顺便说说这个"Jibbs"碰到的事情，Yale曾经连续7次拒绝向著名的物理学家Gibbs发薪水
 
，理由是人为他的研究没有意义。
 
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中国有句古话说名师出高徒，说的是你如果和高手一起切磋，整日耳濡目染，会不知不
 
觉学到很多很多东西。大多数数学家的老师都是很牛的数学家的，可能Gauss和Newton这
 
样的人除外，他们不需要老师的。
 
有一个故事说有一个人试图画出Lefschetz的数学后代家族树，几个月后，他就不得不放
 
弃，因为根本找不到一张足够大的纸，这是一个指数增长的典型例子。越是这种大数学
 
家，他的学生一般来说越多，受到他影响的人也就越多。
 
再譬如说在Berkeley的一次逻辑学的会议上，Tarski请Sierpinski的学生举一下手，大
 
部分人都举了手，然后Tarski请Sierpinski的学生和学生的学生举手，所有人都举了手
 
。这两个人都是波兰的最最著名的数学家。
 
最后我列举一下一些数学家的师承，这个不完全，其实是很不完全，希望大家补充的说
 
：
 
Dirichlet是Riemann的老师
Wierestrass是Cantor, Killing 和 Frobenius的老师
Noether 是van de Wearden， Alexandroff的老师。
Hardy是Wiener的高等数学的老师,
Hermite是Dini的老师
Hadamard是Frechet的老师
Kronecker是Kummer的老师
Sylow是S.Lie的老师
Hodge是Atiyah的老师
Gauss的小学老师是Lobachevsky的大学老师
Hilbert是无穷多个人的老师
Kummer的妻子是Dirichlet的表妹。
Laurent Schwartz是Paul Levy的女婿
 
据中国的古话说职业一共有365种，反正是很多了，应该说作为数学家，从收入上来说是
 
相对比较少的，这个相对的意思是从付出的努力到最后真正得到的钱的比值的倒数。
 
这里给一个1959--1960年度 Chicago大学 数学系教授的工资情况，这里的每一个数学家
 
都是大名鼎鼎的：
Stone   20000 $   Albert     16000 $   S.S.Chern  16000 $   Maclane 16000 $
 
Zygmund 16000 $   Kaplansky  13000 $   P.R.Halmos 13000 $
 
其实好像也不少了，那个时候是50年代末，有这么多钱肯定衣食无忧了，这也是为什么
 
美国的数学家能够专心研究吧。
 
从现在来看，好像学数学收入更少了，很多人出国读数学没几年就转行了，毕竟计算机
 
经济之类的专业转化为生产力的速度更快。
 
说到了转行的事情，想到了一个"内部周转"的事情，Spencer在离开英国去Princeton
 
的时候，Littlewood去火车站送他，叮嘱："不要改行。"于是，Spencer研究了10年
的Bieberbach的系数问题，后来终于受不了了，改做复流形，没有多少功夫就和Kodaira
 
一起发表了他们著名的工作。
 
--
说一说数学家之间的恩怨，由于门派喜好乃至政治上的分别，他们之间也往往有些小小
 
的过节。
 
法国曾经有一个很著名的Dreyfus事件，这是对法国的政局甚至日常生活影响很深的一个
 
政治的风波（至于具体是什么，我也不知道，不过上面的信息对理解后面数学家们的行
 
为已经足够了）。
 
Hadamard个人算是一个Dreyfus派的人，不过他个人当然是对政治事件很淡的那种人了
。适值那年的元旦，按照巴黎高等师范学校的传统，年轻的老师要给年长的老师拜年。
 
Hadamard于是跑到Hermite那里去拜谒一下子，Hermite本身是个反Dreyfus的人，看到
Hadamard来拜年，第一句话就说："你是个叛徒！"Hadamard很难理解这句话："为
什么？"Hermite本身做分析，而且个人固执的看不起几何等分支，那时候Hadamard有一
 
项关于负曲率曲面的文章很是著名，Hermite就对Hadamard说："你为几何而背叛了分析
 
。"
 
Picard也曾为了这个政治的原因对Hadamard说："由于你是数学家，我很尊重你。"言
 
下之意，已经很明显了。不过Picard这个人一向目中无人，无论对谁都是贬多褒少，一
 
个有意思的事情说，Picard在法国科学院收到了一份Bourbaki的报告，看到了Nicolas
 Bourbaki的名字，说："呃，这些外国人。"
--
 
继续说数学家们之间的过节。整体而言，做学问的人总是让人尊敬，很少有令人讨厌的
 
。要说几个人，他们的学问的确是一流的，但是在同行里的口碑却不是很好。
 
第一个要说的人是Koebe, 此人作为数学家还是很出色的。但是从做人的方面来说，极为
 
自负（其实对于数学家而言，这一点很可爱）而令人讨厌，偶尔还剽窃年轻人的想法。
 
 
Courant（柯朗）当初就很受他的排挤。一次在Gottingen, Courant要报告一个题目，当
 
时Koebe恰好也要报告，但是，Courant是年轻人，按照不成文的规矩，他是初学者，而
 
且刚刚完成了博士论文，有特权先报告。当Klein问大家谁先报告的时候，Koebe迫不及
 
待的说："我先讲。"
 
后来Courant的朋友很愤怒，在Koebe的课上，把一个藏有警报器的便壶藏在讲台下面，
 
Koebe最终找出了这个发声的东西，引起哄堂大笑。不久，他的朋友在当地的报纸上公开
 
了这个恶作剧。
数学史上还有两个大师级的人物，同样的是学术很好，但是名声不济，和很多人有这样
 
那样的误会和矛盾。
 
第一个是Kronceker,大家用的很多的Kronecker符号就是用的他的名字。此人身体瘦小无
 
比只有5尺高，当初经商和务农很牛，赚了一大笔钱，30岁之后致力于数学。他在德国算
 
是很权威的人，但是特别烦的是，很专断，根本不相信无理数的存在。当初Linderman和
 
他讨论π的问题的时候，他竟然说这个东西根本不存在; Cantor后来疯了，很大程度上
 
是因为Kronecker的废话太多；据说Weiestrass都差点被他弄哭了，就是因为他对无理数
 
抱有一种病态的看法。
 
第二个人就是Brouwer,直觉学派的领头人，感觉上特别想当年的Kronecker，对于和自己
 
不用的意见不能容忍。他称Hilbert等人为敌人，认为无穷这个东西是不存在的，不仅如
 
此，凡是有人不同意的话，他总是想方设法刁难。他原来是某一著名杂志的主编，别人
 
寄来的文章通常都是高置于案头，没有一年半年他决不会给人家发表。一次，他和van
 de Wearden的一起在朋友家里做客，后者讲到了Hilbert和Courant，并且以朋友相称。
 
这时候，Brouwer竟然一怒之下，拂袖而去。
 
三个做作业的故事,他们的作业很难得说
 
第一个是被大家称为线性规划之父的Dantg (丹齐克)，据说，一次上课，Dantg迟到
 
了，仰头看去，黑板上留了几个题目，他就抄了一下，回家后埋头苦做。几个星期之后
 
，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业好像太难了，我所以现在才交，言下
 
很是惭愧。几天之后，他的老师就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dant
 
g很ft, 后来才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领域的
 
未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。据说，这个方法是上个世纪前十位
 
的算法。
 
第二个和上面的类似，Milnor（米尔诺，得过Feilds奖和Wolf奖，特别有影响的一个数
 
学家，现在还健在，但是听说因为年纪大了，没有人给他研究基金，让这个老人很痛苦
 
）在Princeton大一的时候，上课得知Borsuk的一个和全曲率有关的东西，误以为是家庭
 
作业，几天之后搞定了，后来就发表在年鉴上面。
 
第三个讲的是Arnold, 先说一下背景，有一个很著名的问题叫做"三体问题"，粗略的
 
说就是研究一下像太阳月亮地球这样的三个行星在万有引力的作用下，最终会不会相撞
 
。伟大如Poincare之类的人，都只是部分解决了这个问题。再介绍一下Arnold的老师Ko
 
lmogorov, 一个苏联的大师， 可以说是活在20世纪的前三位的数学家（如果可以排名的
 
话），过几次说说他的故事。Kolmogorov对这个问题有了兴趣之后，着实花了些功夫，
 
后来他觉得离着解决差不多的时候，干脆就把这个问题留成了一道课外作业，Arnold他
 
们就奉命去写作业，若干时日之后，终于成功的解答了这个东西，当然他的贡献是特别
 
大的，很多关键的想法都是自己创的，所以最后这个问题的解答所形成的定理叫做"KA
 
M"，KA就是他们师徒俩人，M则是一个美国数学家Moser,也曾对这个问题做了很多的工
 
作。
 
--
提一个波兰的数学家，学过Fourier分析人应该对他很熟悉，他就是Fejer。关于他的数
 
学水平可以用Poincare的评论来证实，Fejer关于Fourier级数的Cesaro和的工作是大四
 
做的，1905年的时候，H.Poincare到匈牙利去领取Bolyai奖，很多政界的人都去接见，
 
Poincare见面就问："Fejer在哪里？"众人面面相觑："Fejer是谁？"Poincare说：
 
"Fejer是匈牙利最伟大的数学家，也是世界上最伟大的数学家之一。"
 
其实政界的人去接见Poincare并不是因为他是那种最最伟大的数学家，而是因为
Poincare的的哥哥原来是法国的总理什么的，一般来说，政界的人对于谁是数学家并不
 
关心，要不也就不至于不知道Fejer了。
 
据说，Fejer比较喜欢到处乱说话，有两件事情来证明。Fejer和Riesz的关系很好，但
是他比Riesz晚生了两个星期，于是，就到处声称他其实比Riesz要大，因为Riesz早产了
 
；Fejer和Kerekjarto不和，后者是一个拓扑学家，Fejer说Kerekjarto说的话和真理只
 
不过是拓扑等价。

Kolmogorov (1)
 
这是苏联最伟大的数学家之一，也是20世纪最伟大的数学家之一，在实分析，泛函分析
 
，概率论，动力系统等很多领域都有着开创性的贡献，而且培养出了一大批优秀的数学
 
家。特别的用两次的时间来介绍他，因为Kolmogorov不仅作为数学家很传奇，更是有着
 
丰富多彩经历。
 
Kolmogorov一开始并不是数学系的，据说他17岁左右的时候写了一片和牛顿力学有关的
 
文章，于是到了Moscow State University去读书。入学的时候，Kolmogorov对历史颇为
 
倾心，一次，他写了一片很出色的历史学的文章，他的老师看罢，告诉他说在历史学里
 
，要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正确证明才行，Kolmogorov就问什么地方需
 
要一个证明就行了，他的老师说是数学，于是Kolmogorov开始了他数学的一生。
 
二十年代的莫斯科大学，一个学生被要求在十四个不同的数学分支参加十四门考试；但
 
是考试可以用相应领域的一项独立研究代替。所以，Kolmogorov从来没有参加一门考试
 
，他写了十四个不同方向的有新意的文章。Kolmogorov后来说，竟然有一篇文章是错的
 
，不过那时考试已经通过了。
 
Kolmogorov (2)
 
不说他老人家在数学上的成就了，因为实在太多，譬如说上同调环这个东西他也是独立
 
发现的。专心的说一下他的轶事。
 
Kolmogorov总是以感激的口气提到斯大林："首先，他在战争年代为每一位院士提供了
 
一床毛毯；第二，原谅了我在科学院的那次打架。"Kolmogorov一次在选举会上打了
Lun一个耳光，他说："（打架）那是我们常用的方式。"Lun在实变函数方面有
着很重要的贡献，但是以打架而论，远非Kolmogorov的对手，因为Kolmogorov经常自豪
 
的回忆他在Yaroslovl车站和民兵打架的经历。
 
一个人如果打架很牛的话，经验告诉我们他必然身体强壮，而Kolmogorov的确很擅长运
 
动，并经常以此自诩。譬如说，他经常提到一件事情，并且深以为撼，三十年代的一个
 
冬天，Kolmogorov身穿游泳裤雪橇，在得意的飞速下滑，碰到两个戴相机的年轻人请他
 
停下来，他原以为他们仰慕他的滑雪技术会为他拍照，结果他们请他为他们拍照。再譬
 
如说，39年的时候，他突然决定在冰水中游泳以表达对自己健康体魄的高度信任，结果
 
以住院告终，医生一致认为他差点死掉；但是，70岁的时候，突然决定到莫斯科河里游
 
泳，仍然是冰水，这一次却没有事情。
 
--------------------
有一条小路，穿过田野，通向新南盖特，我经常独自一人到那里去看落日，并想到自杀
 
。然而，我终于不曾自杀，因为我想更多的了解数学。
                                                         ——B.Russell
--------------------
 
就用下面的一篇作为这个系列的结束吧，R.Thom是法国人，35岁得的Fields奖。
 
在一次采访当中，作为数学家的Thom同两位古人类学家讨论问题。谈到远古的人们为什
 
么要保存火种时，一个人类学家说，因为保存火种可以取暖御寒；另外一个人类学家说
 
，因为保存火种可以烧出鲜美的肉食。而Thom说，因为夜幕来临之际，火光摇曳妩媚，
 
灿烂多姿，是最美最美的。
 
美丽是我们得数学家英雄们永恒的追求。
                                      
                                                                   （全文终）后记
 
感谢那些每天来看我连载的人，感谢每一个喜欢这些故事的人。我根本没有想到会有这
 
么多人喜欢，尤其是我如此拙劣的文笔，谢谢大家。最初选Hero作为题目，是因为那时
 
候想起了Mariah Carey的一首歌，叫做Hero。我不知道这六十多篇文字，是否真的勾勒
 
出这些英雄们的桀骜不驯娇憨可爱，是否真的描绘出这些英雄们在追寻美追寻永恒的历
 
程中，满心的痴狂惊人的努力。
 
说正事，这个后记基本上来说说文献，就是这些东西的出处。
 
第一本叫做 天才引导的历程, 作者是威廉·邓纳姆，一个美国人。这本书是我高中读过
 
的，其中有若干经典的证明譬如Euler的求自然数平方倒数和的那个伟大的类比（尽管不
 
严格），更好的一点是，书中有若干有意思的小故事，即使不喜欢读证明，依然是很有
 
趣味。
 
第二本或者说第二和第三本是Constence Reid为Hilbert和Courant写的传记，写书的女
 
士不是数学家，所以行文更流畅故事更多。第一次知道这本书是个巧合，大概是二年级
 
的时候，我去图书馆的电脑上随便检索，发现在Weyl的词条下，有一个说是Hilbert的文
 
集有Weyl作的注释，这种经典自然要去翻翻，但是按索书号却是Reid的书，英文版的。
 
今年，中文版的书也出了，我用的很多的引言都是中文版的书中的。
 
第三本是Ulam（乌拉姆）的自传，叫做 一个数学家的经历，是一本上海科技出的红色的
 
小册子，本人两年前在国林风卖旧书的地方以2元的价钱购得，书中讲了他不是太传奇的
 
一生，用了很多笔墨去写von Neumann。
 
第四本是 P.Halmos的自传，叫做 我要做数学家，有20几块钱，好贵，我从alpha那里借
 
来看过，不是太有趣味，因为行文过于冗长，但是长的一个好处是故事多，而且Halmos
 
这个人就是喜好吹牛。
 
第五本是 Nash的传记，名字是 普林斯顿的幽灵， 讲述Nash的故事，我这里不知道贴了
 
多少，最近由于A Beatiful Mind这部片子的缘故，Nash变得特别的出名，大家不妨去看
 
看这本书，还是很有趣的。
 
其他的书引用得不多，这里列一下，有一本书叫做 一个数学家的辩白， 作者是Hardy（
 
哈代），此书还附有Weiner（维纳）的自传；一本是Newton（牛顿）的传记，名字大概
 
就是 牛顿传 吧，记得序言的第一句话是说历史上为某人立传而不需要理由的牛顿当之
 
无愧的算第一个；还有一本是A.Einstein(爱因斯坦)的传记，具体那一本忘了，估计都
 
差不多。至于其他其他的书譬如讲Erdos的 数字情种 和另外一本比较著名的 数学精英
 
，欧倒是没有读过，据说都是很好的传记性质的书。
 
还要提一下一本杂志，中科院出的，叫做 数学译林， 在北大图书馆的四楼就能找到，
 
每次在图书管理无聊的时候，我就去翻看上面的故事，这个杂志堪称为给数学系学生看
 
的最好的杂志了。其中不但有很多传记和历史，还有前沿的数学工作的介绍，经典的东
 
西的回顾。
 
以上这些书的并集，也许不能完全的包含这几十篇东西，那么其差集就是平时老师同学
 
讲的故事和某些专业书里作者随手插的花絮。
 
到这里就真的结束了吧，要毕业了。又想到了一个小故事是Halmos的，他写了一本著名
 
的书叫做Measure Theory，当他完成此书的时候，心中喜悦难以抑制，向众人宣布:"我
 
刚写完了Measure Theory的最后一个字！！"有人问:"最后一个字是什么？"Halmos当
 
时愣住了，连忙赶回办公室，再跑回来，告诉他们说是什么什么。我也写完了，最后一
 
段话和本文无关，写给远在千里之外的一个女孩，每一天到bbs上的时候，我总是假设你
 
也上bbs,你也来看我的连载，希望你能喜欢这些故事哪怕只有一个，尽管你不喜欢数学
 
也不喜欢我。

对数学未来的思考  --我们依然站在不断扩展的地平线的门口

   让我们想象一下：Archimedes(公元前287 -前212年 ) 这位在所有时代都是最卓越数
学家之一的他正在提问：对于数学的未来你们看到了什么？这位古代数学家刚刚计算了
球的表面积与体积，或者一段抛物弓形的面积，伸了伸懒腰，坐在位于西西里东海岸他
家乡叙古拉的沙滩上，凝视着天边。他感到困惑：在数学上，他或者其他任何人还能再
做点别的什么？他的最大雄心之一是要计算任意几何体的体积和表面积；然而他还不知
道该怎么下手。他使用的工具是纯粹几何的，基于希腊数学家们的数百年的研究并在他
出身的数十年前由Euclid 编写在他的名著《原本》中的那些知识。鉴于数学工具的十分
缺乏，局限了Archimedes 的视野。他得不出分数相加、相乘的快捷方法。为此，人们得
花上千年时间等待十进制由印度和阿拉伯传到欧洲并使其发展。十进制的引进所带来的
符号简化在其力所能及的范围是革命性的。

     将Archimedes 留在叙拉古的沙滩上，让他去思考数学的未来还有些什么吧，现在我们
去造访Issac Newton 爵士（1642 -1727）。23 岁时，当时刚取得剑桥大学学士学位，
Newton 便被迫回家度过了18 个月光阴，因为那时正值大瘟疫，使大学关了门。在这短
短的时间里，Newton 有了许多基本的发现，数学上他发现了二项式定理及微积分的初期
形式，在物理上则发现了白光的组成及万有引力定律，现在我们去会一会年事已高的Ne
wton 并问一问他那个同样对Archimedes 提出的问题：什么是数学的未来？他可能会很
快回应道，简单的回答是，继续建造微积分，借助于微积分，Newton 可以把任何几何形
状的体积和表面积用积分来表示，并能计算到任意精确度，这 Archimedes 是所不能想
象的, Newton 思考着这样的事实，即用万有引力定律和他自己的力学三基本定律（他会
说'我的定律'），他能够以解微分方程的办法来算出运动物体的轨迹，而这些方程表现
了力的平衡，那么，他自问道'我们能用微分方程去描述其他的自然法则，从而能以发展
解出这些方程的工具的方法来预言自然的进程吗？'但即便是Newton的视野也不可避免地
有所局限。


  从这时起到Gauss （1777 -1885）在数论中的基本发展花去了一百年，而到发展微几
何的复杂性和Riemann 流形则又多花了五十年。当我们离现代越近则未来便越容易预测
了，David Hilbert （1862 -1943）是一位对数学的几乎每一个领域都有本质性的贡献
的人。他在巴黎召开的国际数学家大会（1900）上列出一系列著名的数学问题，在这整
个20 世纪对各个数学领域有着极大的影响，比如在数论、集合论、几何、拓扑论及偏微
分方程中。


  在最近的五十年中，我们亲自体察了在数学的许多领域中的巨大进展。在我所从事的
偏微分方程（PED）这一领域中，我们现在有了一个巨大的知识主体，使我们能够去理解
，预测并计算许多重要的物理和技术过程。例如，当我们测量一个固体的表面温度，我
们就可通过解称之为'热传导方程'的偏微方程去推导出物体内部的温度，如果从外部加
热一个冰块，它开始融化，我们在微分方程方面的知识使我们可以断定融化了的体积是
怎样变化的，以及在融化了的体积中的水温。'梁杆方程'同样能预言当承受压缩力时一
个弹性梁是如何变化。当加在梁上的压力超过一个临界值时，它就会突然翘曲，形变为
许多状态中的一种。这种情形解释了微分方程解的多重性。


  不管我们在微分方程方面的知识有多么丰富，仍然有许多东西我们不知道。举例来说
，我们不知道气体动力方程是否有一个数学解，这个方程是用来确定飞机周围和发动机
内的气流的。我们没有合适的知识来处理预测水的运动方程的解，从而我们对海洋的涡
流缺乏了解，这些及其他许多的基本问题仍然期待得到数学的解答，在未来十年中它们
仍是深入研究的主题。


  数学的其他领域无疑也处在同样的不确定状态：虽然取得巨大进展，依然有许多基本
问题没有解决。相对于早先的世纪而言我们处在一个充满冒险和刺激的地位：我们已经
发展了许多重要的研究领域，已经有了许多强有力的计算和理论的工具。数学家们在未
来许多年里可以继续忙于用现在的工具去寻找新方法，用来解决在数学和非数学（即科
学和工程）领域中出现的问题。然而数学史表明，由现在去预言长远未来的发现是多么
徒劳。的确如此，在今天难以想象的数学的新领域，会完全料想不出地冒出来。


  因此我不去预测下个世纪数学的未来而在这里举出科技中三个关键领域的例子，在那
里数学是以诚相待非常重要的成份出现的。这三个领域是材料科学，生命科学和数码技
术。


  材料科学中的数学


  材料科学所关心的是性质和使用。目的是合成及制造新材料，了解并预言材料的性质
以及在一定时间段内控制和改进这些性质。不久以前，材料科学还主要是在冶金，制陶
和塑料业中的经验性研讨，今天却是个大大增长的知识主体，它基于物理科学，工程及
数学。所有材料的性质最终取决于它们的原子及其组合成的分子结构。例如，聚合体是
由简单分子组合成的物质，而这些分子是些重复的结构单元，称之为单体。单个的聚合
体分子可以由数百至百万个单体构成并具有一个线性的，分枝或者网络的结构。


  聚合体的材料可以是液态也可以是固态，其性质取决于加工它的方式（譬如，先加热
，逐渐冷却，高压）。聚合体的交错缠绕的排列提出了一个困难的建模问题。但是，在
一些领域中数学模型已经表现得相当可靠，这些模型非常复杂，故而迄今只取得很少几
个结果，它们对聚合体加工可能有用，聚合体的较简单但却更表象的模型是基于连续介
质力学，但附加了要记忆的一些条件。对材料科学家来说，解的稳定性与奇点是重要的
结果，但甚至对于这些较简单的模型仍缺少数学。


  复合材料的研究是另一个运用数学研究的领域，如果我们在一种材料颗粒中搀入另一
种材料，得到一种复合材料而其显示的性质可能根本不同于组成它的那些材料，例如汽
车公司将铝与硅碳粒子相混合以得到重量轻的钢的替代物。带有磁性粒子充电粒子的气
流能提高汽车的制动气流和防撞装置的效果。


  最近十年来，数学家们在泛函分析，PDE及数值分析中发展了新的工具，使他们能够估
计或计算混合物的有效性质。但是新复合物的数目不断增长，同时新的材料也不断被开
发出来，迄今所取得的数学成就只能看作一个相当不错的开始。甚至对已经研究了好些
年的标准材料仍面临着大量的数学挑战。例如，当一个均匀的弹性体在承受高压时会破
裂。破裂是从何处又是怎样开始的，它们是怎样扩展的，何时它们分裂成许多裂片，这
些都是有待研究的问题。


  生物学中的数学


  在生物学和医药科学中也出现了数学模型, 炒得很热的基因方案的一些重要方面需要
统计, 模型识别以及大范围优化法 虽不太热却是长期挑战的是生物学其他领域中的进展
, 比如在生理学方面, 拿肾脏作个例子吧, 肾的功能是以保持危险物质( 如盐) 浓度的
理想水平来规范血液的组成。如果一个人摄入了过多的盐，肾就必须排出盐浓度高于血
液中所含浓度的尿液。在肾的四周上有上百万个小管，称作肾单位，负有从血液中吸收
盐份转入肾中的职责，他们是通过与血管接触的一种传输过程来完成的，在这个过程中
渗透压力过滤起了作用。生物学家已把这过程涉及到的物质与人体组织视为一体了，但
过程的精确过程却还只是勉强弄明白了。


  肾脏的运作过程的一个初级数学模型，虽然简单，却已经帮助说明了尿的形成以及肾
脏做出的抉择，比如是排出一大泡稀释的尿还是一小泡浓缩的尿，然而我们仅仅是在了
解这种机理的非常初级的阶段。一个更加完全的模型可能会包含 PDE 、 随机方程、流
体力学、弹性力学、滤波论及控制论，或许还有一些我们尚不具备的工具。心脏力学、
钙（骨）力学、听觉过程、细胞的附着与游离（对生物过程是非常重要的，如发炎与伤
口愈合）以及生物流体（biofluids）是生理学中其他一些学科，在那里现代数学研究已
经取得了一些成就；更多的成就会随后而至。


  数学将要取得重要进展的其他领域，包括有一般性的生长过程和特殊的胚胎学、细胞
染色、免疫学、反复出现的传染病，还有环保项目如植物中的大范围现象及动物群体性
的建模。当然我们决不能忘记还有人类的大脑，自然界最棒的计算机，还有它所具有的
感觉神经元、动作神经元以及感情和梦想！


  多媒体中的数学


  大约五十年前建成了第一台计算机，从而开始了一场可从表面上看1760 年到1840年发
生在英国的产业革命相匹比的静 那牡母 命。我们现在亲自证实了这场计算机革命的完
全冲击：在商业、制造业、保健机构及工程业，与计算和通讯技术的进步相配的是数字
信息的萌芽状态，它已为多媒体铺出了一条路，其产品包括了文字图像、电影、录像、
音乐、照像、绘画、卡通、数据、游戏及多媒体软件，所有这些都由一个单独站址发送
。


  多媒体的数学包括了一个大范围的研究领域，它包含有计算机可视化，图像处理，语
音识别及语言理解、计算机辅助设计和新型网络。这些会有广泛的应用，应用于制造业
、商业、银行业、医疗诊断、信息及可视化，还有娱乐业，这只点出了几个而已。多媒
体中的数学工具可能包括随机过程、Marko 场、统计模型、决策论、PDE 、数值分析、
图论、图表算法、图象分析及小波等。还有其他一些领域中的一些，目前似乎还处在某
种程度的监护下，如人造生命和虚拟世界。


  计算机辅助设计正在成为许多工业部门的强大工具：完全在计算机上设计，在键盘上
一敲后产品便在远处的工厂里实现了。这种技术能成为数学家进行研究的工具吗？万维
网（WWW）已经成为多媒体最强劲的动力。它未来的辉煌取决于许多新的数学思想和算法
的发展，目前仍处在孩提时期。随着多媒体技术的扩展，对于保护私人数据的通讯文本
的需要也与日俱增。发展一个更加安全的密码系统就是数学家们的任务了。为此，他们
必定要借助于在数论、离散数学、代数几何及动力系统方面的新进展，当然还有其他一
些领域。


  在物质的与生命的科学和在技术的发展中，数学继续起着与日俱增的重要作用。


  正如Archimedes 站在叙拉古的海滩上一样，这里我们正站在一个新世纪和一个新千年
的门槛上。我们只能推测，新的理论最终会解决一切向数学挑战的问题，无论它是来自
我们生活的世界还是来自数学本身。在过去的几个民纪里我们获得了惊人的大量知识，
但正如Archimedes 和Newton 一样，我们依然在不断扩展的数学地平线的门口。


  (Avner Firedman 美国明尼苏达大学数学及应用研究所所长)

*冲击波*的博客

对数学很有天赋的人才能读数学的.(我认为数学是体现人聪明程度的最高级游戏).
很勤奋能安于学数学的人也能读.
家里很有钱把数学当游戏也可以读(历史上的大部分数学家都是有钱人)

否则:
几年后数学毕业了连工作也不一定能找得到.
(读了数学不去教书能干嘛?再说哪有那么多学校给几年毕业后的人教?)
那么想养家糊口更是不可能.
更不要说其他同学好专业好工作而让自己的失落感好大.
所以如果不是上面几种人的话,那么感觉应该是:
不要把数学作为专业.
在这里"混"毕业(不过现在想混毕业也不容易)同时学其它而得一技术傍身.
当然,因为学数学的人一般是比较聪明的,所以转转也容易.
虽然现在感觉教书是不错的职业,可惜几年后能有那么多单位要招人吗?
而且多学点东西应该是有好处没坏处的说.